Вариант 3. 1. Решите систему уравнений. xy = -2, 3x - y = 5 2. Решите систему уравнений. x^2- y = 2, 2x + y = -2. 3. Решите систему уравнений. x + y = 6, 1/x - 1/y = 1/4, 4. Решите задачу, составив систему уравнений: Одно из натуральных чисел на 8 больше второго, произведение этих чисел равно 273. Найдите эти числа.

1. Выразим y из второго уравнения: y = 3x - 5.
2. Подставим выражение для y в первое уравнение: x(3x - 5) = -2.
3. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: 3x^2 - 5x + 2 = 0.
4. Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\]

Найдем корни: \[x_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

5. Подставим найденные значения x в выражение для y:

Если x = 1, то y = 3 \cdot 1 - 5 = -2.

Если x = \frac{2}{3}, то y = 3 \cdot \frac{2}{3} - 5 = 2 - 5 = -3.

1. Выразим y из второго уравнения: y = -2x - 2.
2. Подставим выражение для y в первое уравнение: x^2 - (-2x - 2) = 2.
3. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: x^2 + 2x + 2 - 2 = 0, что упрощается до x^2 + 2x = 0.
4. Решим уравнение: x(x + 2) = 0.

Значит, x = 0 или x = -2.

5. Подставим найденные значения x в выражение для y:

Если x = 0, то y = -2 \cdot 0 - 2 = -2.

Если x = -2, то y = -2 \cdot (-2) - 2 = 4 - 2 = 2.

1. Выразим y из первого уравнения: y = 6 - x.
2. Подставим выражение для y во второе уравнение: \[\frac{1}{x} - \frac{1}{6 - x} = \frac{1}{4}\]
3. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{6 - x - x}{x(6 - x)} = \frac{1}{4}\]
4. Упростим: \[\frac{6 - 2x}{6x - x^2} = \frac{1}{4}\]
5. Перекрестное умножение: 4(6 - 2x) = 6x - x^2.
6. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: 24 - 8x = 6x - x^2, что приводит к x^2 - 14x + 24 = 0.
7. Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант: \[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\]

Найдем корни: \[x_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

8. Подставим найденные значения x в выражение для y:

Если x = 12, то y = 6 - 12 = -6.

Если x = 2, то y = 6 - 2 = 4.

1. Пусть первое число x, а второе y.
2. Составим систему уравнений: \[\begin{cases}x = y + 8, \\ xy = 273\end{cases}\]
3. Подставим первое уравнение во второе: (y + 8)y = 273.
4. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: y^2 + 8y - 273 = 0.
5. Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант: \[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-273) = 64 + 1092 = 1156\]

Найдем корни: \[y_1 = \frac{-8 + \sqrt{1156}}{2} = \frac{-8 + 34}{2} = \frac{26}{2} = 13, \quad y_2 = \frac{-8 - 34}{2} = \frac{-42}{2} = -21\]

6. Так как числа натуральные, то y = 13.
7. Найдем x: x = 13 + 8 = 21.