Вариант 1 1. Решите систему уравнений x-y=5, x²-15 y=109. 2. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 34 см, а площадь равна 60 см². 3. Решите графически систему уравнений x²-y=0, x-y=6. 4 Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы y=\frac{1}{2}x² и прямой y=3x-4 .

Задание 1

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x - y = 5 \\x^2 - 15y = 109\end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 5.

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 5)^2 - 15y = 109\] \[y^2 + 10y + 25 - 15y = 109\] \[y^2 - 5y - 84 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант равен:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361\]

Корни:

\[y_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[y_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 12, то x = 12 + 5 = 17.

Если y = -7, то x = -7 + 5 = -2.

Ответ: (17, 12) и (-2, -7)

Задание 2

Пусть стороны прямоугольника a и b. Периметр равен 34 см, а площадь 60 см². Тогда можем записать систему уравнений:

\[\begin{cases}2(a + b) = 34 \\a \cdot b = 60\end{cases}\]

Из первого уравнения выразим a + b = 17, тогда a = 17 - b.

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(17 - b) \cdot b = 60\] \[17b - b^2 = 60\] \[b^2 - 17b + 60 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b. Дискриминант равен:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\]

Корни:

\[b_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[b_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Теперь найдем соответствующие значения a:

Если b = 12, то a = 17 - 12 = 5.

Если b = 5, то a = 17 - 5 = 12.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см

Задание 3

Решим графически систему уравнений:

\[\begin{cases}x^2 - y = 0 \\x - y = 6\end{cases}\]

Выразим y из обоих уравнений:

\[\begin{cases}y = x^2 \\y = x - 6\end{cases}\]

Построим графики функций y = x² (парабола) и y = x - 6 (прямая) и найдем точки их пересечения. Так как точное построение графика здесь невозможно, можно сделать вывод, что графики не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Решим систему аналитически, чтобы убедиться в этом:

\[x^2 = x - 6\] \[x^2 - x + 6 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, что подтверждает отсутствие точек пересечения графиков.

Ответ: Решений нет.

Задание 4

Найдем координаты точек пересечения параболы y = \frac{1}{2}x² и прямой y = 3x - 4, не выполняя построения.

Приравняем уравнения:

\[\frac{1}{2}x^2 = 3x - 4\]

Умножим обе части на 2:

\[x^2 = 6x - 8\]

Перенесем все в левую часть:

\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\]

Корни:

\[x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 4, то y = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8.

Если x = 2, то y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2.

Таким образом, координаты точек пересечения (4, 8) и (2, 2).

Ответ: (4, 8) и (2, 2)

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!