Вариант 2. 1. Решите уравнение: cosx = 1-2 2 2. Установите соответствие между уравнениями и методами их решения: 1) sin² x 3 sin x + 2 = 0; А) Замена переменной; 2) cos 2 x = sin x Б) Формулы приведения; 3). sin x - cos x = 0; В) Однородное уравнение. 3. Решите уравнение, заполняя пропуски: sin 2x = 2 sin x cos x sin 2 x 2 sin x cos x = 0 Вынесение множителя: sin x (...) = 0 Ответ: х = 4. Решите уравнения и определите, какой метод объединяет их решение: a) cos 2 x = cos x; 6) sin 3 x = sin x. 5. Составьте алгоритм решения однородного уравнения: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0. π 6. Ученик решил уравнение cos x = 0 так: х = =+ 2пк. Верно ли это? Исправьте ошибку. 2 7. Придумайте уравнение, которое решается с помощью формулы двойного угла, и решите его. 8. Решите уравнение cos² х cos x = 0 и выберите корни на отрезке [-п; п]. тветы:

1. Решите уравнение: cosx = - \(\frac{1}{2}\)

cos x = -\(\frac{1}{2}\)

x = ± \(\frac{2π}{3}\) + 2πk, k ∈ Z

Ответ: x = ± \(\frac{2π}{3}\) + 2πk, k ∈ Z

2. Установите соответствие между уравнениями и методами их решения:

1) sin² x - 3 sin x + 2 = 0; А) Замена переменной;

2) cos 2 x = sin x Б) Формулы приведения;

3) sin x - cos x = 0; В) Однородное уравнение.

Решение:

1) sin² x - 3 sin x + 2 = 0 - А) Замена переменной. (Замена t = sin x, at^2 + bt + c = 0)

2) cos 2x = sin x - Б) Формулы приведения. (cos 2x = cos^2x - sin^2x)

3) sin x - cos x = 0 - В) Однородное уравнение. (Делим обе части на cos x)

3. Решите уравнение, заполняя пропуски:

sin 2x = 2 sin x cos x

sin 2x - 2 sin x cos x = 0

Вынесение множителя: sin x (1 - cos x) = 0

sin x = 0 или 1 - cos x = 0

x = πk, k ∈ Z или cos x = 1

x = πk, k ∈ Z или x = 2πn, n ∈ Z

Ответ: x = πk, k ∈ Z

4. Решите уравнения и определите, какой метод объединяет их решение:

a) cos 2x = cos x;

б) sin 3x = sin x.

Решение:

a) cos 2x = cos x

cos 2x - cos x = 0

-2 sin \(\frac{3x}{2}\) sin \(\frac{x}{2}\) = 0

sin \(\frac{3x}{2}\) = 0 или sin \(\frac{x}{2}\) = 0

\(\frac{3x}{2}\) = πk, k ∈ Z или \(\frac{x}{2}\) = πn, n ∈ Z

x = \(\frac{2πk}{3}\), k ∈ Z или x = 2πn, n ∈ Z

б) sin 3x = sin x

sin 3x - sin x = 0

2 cos 2x sin x = 0

cos 2x = 0 или sin x = 0

2x = \(\frac{π}{2}\) + πk, k ∈ Z или x = πn, n ∈ Z

x = \(\frac{π}{4}\) + \(\frac{πk}{2}\), k ∈ Z или x = πn, n ∈ Z

Общий метод: использование формул приведения суммы в произведение.

5. Составьте алгоритм решения однородного уравнения: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0.

1. Убедитесь, что уравнение является однородным (все члены имеют одинаковую степень).
2. Разделите обе части уравнения на cos² x (или sin² x, если cos x = 0 не является решением).
3. Получите квадратное уравнение относительно tan x (или cot x).
4. Решите полученное квадратное уравнение.
5. Найдите значения x, используя арктангенс (или арккотангенс).
6. Запишите общий вид решения, учитывая период тангенса (или котангенса).

6. Ученик решил уравнение cos x = 0 так: х = \(\frac{π}{2}\) + 2πk. Верно ли это? Исправьте ошибку.

Ошибка в том, что ученик указал только одну серию решений. Правильное решение: x = \(\frac{π}{2}\) + πk, k ∈ Z

7. Придумайте уравнение, которое решается с помощью формулы двойного угла, и решите его.

sin 2x = cos x

2 sin x cos x = cos x

2 sin x cos x - cos x = 0

cos x (2 sin x - 1) = 0

cos x = 0 или 2 sin x - 1 = 0

x = \(\frac{π}{2}\) + πk, k ∈ Z или sin x = \(\frac{1}{2}\)

x = \(\frac{π}{2}\) + πk, k ∈ Z или x = \(\frac{π}{6}\) + 2πn, n ∈ Z, x = \(\frac{5π}{6}\) + 2πm, m ∈ Z

8. Решите уравнение cos² х - cos x = 0 и выберите корни на отрезке [-π; π].

cos² x - cos x = 0

cos x (cos x - 1) = 0

cos x = 0 или cos x = 1

x = \(\frac{π}{2}\) + πk, k ∈ Z или x = 2πn, n ∈ Z

На отрезке [-π; π]: x = -\(\frac{π}{2}\), x = \(\frac{π}{2}\), x = 0, x = -π, x = π

Ответ: x = -\(\frac{π}{2}\), x = \(\frac{π}{2}\), x = 0, x = -π, x = π