Вариант 1 1. Решите уравнение 5х2 + 10x = 0. 2. Решите уравнение 9х2 – 4 = 0. 3. Решите уравнение х²- 7x + 6 = 0. 4. Решите уравнение 2x² + 3x + 4 = 0. 5. Один из корней уравнения х² + ах + 72 = 0 равен 9. Найдите другой корень и коэффициент а. 6. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь – 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника. Вариант 2 1. Решите уравнение 6х2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 - 9 = 0. 3. Решите уравнение х² - 8x + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 5x + 6 = 0. 5. Один из корней уравнения х² + 11х + a = 0 равен 3. Найдите другой корень и коэффициент а. 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Вариант 1

1. Решим уравнение $$5x^2 + 10x = 0$$.
   Вынесем общий множитель за скобки: $$5x(x + 2) = 0$$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$5x = 0$$ или $$x + 2 = 0$$.
   Из первого уравнения получаем $$x = 0$$.
   Из второго уравнения получаем $$x = -2$$.
   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -2$$
2. Решим уравнение $$9x^2 - 4 = 0$$.
   Разложим левую часть уравнения как разность квадратов: $$(3x - 2)(3x + 2) = 0$$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$3x - 2 = 0$$ или $$3x + 2 = 0$$.
   Из первого уравнения получаем $$3x = 2$$, $$x = \frac{2}{3}$$.
   Из второго уравнения получаем $$3x = -2$$, $$x = -\frac{2}{3}$$.
   Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2}{3}$$
3. Решим уравнение $$x^2 - 7x + 6 = 0$$.
   Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Подходят числа 1 и 6.
   $$x_1 + x_2 = 7$$
   $$x_1 \cdot x_2 = 6$$
   Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 6$$
4. Решим уравнение $$2x^2 + 3x + 4 = 0$$.
   Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$$.
   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
   Ответ: нет действительных корней.
5. Один из корней уравнения $$x^2 + ax + 72 = 0$$ равен 9. Найдем другой корень и коэффициент a.
   Пусть $$x_1 = 9$$. Тогда $$x_1 \cdot x_2 = 72$$, следовательно, $$9 \cdot x_2 = 72$$, $$x_2 = 8$$.
   $$x_1 + x_2 = -a$$, $$9 + 8 = -a$$, $$17 = -a$$, $$a = -17$$.
   Ответ: другой корень равен 8, коэффициент a = -17.
6. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь – 36 см². Найдем длины сторон прямоугольника.
   Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда:
   $$2(a + b) = 26$$
   $$a \cdot b = 36$$
   $$a + b = 13$$
   $$a = 13 - b$$
   $$(13 - b) \cdot b = 36$$
   $$13b - b^2 = 36$$
   $$b^2 - 13b + 36 = 0$$
   По теореме Виета:
   $$b_1 + b_2 = 13$$
   $$b_1 \cdot b_2 = 36$$
   $$b_1 = 4$$, $$b_2 = 9$$.
   Если $$b = 4$$, то $$a = 13 - 4 = 9$$.
   Если $$b = 9$$, то $$a = 13 - 9 = 4$$.
   Ответ: длины сторон прямоугольника 4 см и 9 см.

Вариант 2

1. Решим уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.
   Вынесем общий множитель за скобки: $$6x(x + 3) = 0$$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$6x = 0$$ или $$x + 3 = 0$$.
   Из первого уравнения получаем $$x = 0$$.
   Из второго уравнения получаем $$x = -3$$.
   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -3$$
2. Решим уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.
   Разложим левую часть уравнения как разность квадратов: $$(2x - 3)(2x + 3) = 0$$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$2x - 3 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$.
   Из первого уравнения получаем $$2x = 3$$, $$x = \frac{3}{2}$$.
   Из второго уравнения получаем $$2x = -3$$, $$x = -\frac{3}{2}$$.
   Ответ: $$x_1 = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = -\frac{3}{2}$$
3. Решим уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.
   Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Подходят числа 1 и 7.
   $$x_1 + x_2 = 8$$
   $$x_1 \cdot x_2 = 7$$
   Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 7$$
4. Решим уравнение $$3x^2 + 5x + 6 = 0$$.
   Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47$$.
   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
   Ответ: нет действительных корней.
5. Один из корней уравнения $$x^2 + 11x + a = 0$$ равен 3. Найдем другой корень и коэффициент a.
   Пусть $$x_1 = 3$$. Тогда $$x_1 + x_2 = -11$$, следовательно, $$3 + x_2 = -11$$, $$x_2 = -14$$.
   $$x_1 \cdot x_2 = a$$, $$3 \cdot (-14) = a$$, $$a = -42$$.
   Ответ: другой корень равен -14, коэффициент a = -42.
6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь – 24 см². Найдем длины сторон прямоугольника.
   Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда:
   $$2(a + b) = 22$$
   $$a \cdot b = 24$$
   $$a + b = 11$$
   $$a = 11 - b$$
   $$(11 - b) \cdot b = 24$$
   $$11b - b^2 = 24$$
   $$b^2 - 11b + 24 = 0$$
   По теореме Виета:
   $$b_1 + b_2 = 11$$
   $$b_1 \cdot b_2 = 24$$
   $$b_1 = 3$$, $$b_2 = 8$$.
   Если $$b = 3$$, то $$a = 11 - 3 = 8$$.
   Если $$b = 8$$, то $$a = 11 - 8 = 3$$.
   Ответ: длины сторон прямоугольника 3 см и 8 см.