Вариант 1 1. Решите уравнение 5x² + 10x = 0. 2. Решите уравнение 9х2 – 4 = 0. 3. Решите уравнение х² – 7х + 6 = 0. 4. Решите уравнение 2x² + 3x + 4 = 0. 5. 3/(y-2) + 7/(y+2) = 10/y; 6. Катер прошёл 18 км по течению реки, затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

1. Решите уравнение 5x² + 10x = 0.

Решим уравнение 5x² + 10x = 0.

Вынесем общий множитель 5x за скобки: 5x(x + 2) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно:

1. 5x = 0, отсюда x = 0
2. x + 2 = 0, отсюда x = -2

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -2

2. Решите уравнение 9х² – 4 = 0.

Решим уравнение 9х² – 4 = 0.

Представим левую часть уравнения как разность квадратов: (3x)² – 2² = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов: (a – b)(a + b) = a² – b²

В нашем случае a = 3x, b = 2. Получаем: (3x – 2)(3x + 2) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно:

1. 3x – 2 = 0, отсюда 3x = 2, x = 2/3
2. 3x + 2 = 0, отсюда 3x = -2, x = -2/3

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -2/3

3. Решите уравнение х² – 7х + 6 = 0.

Решим уравнение х² – 7х + 6 = 0.

Найдем дискриминант D по формуле D = b² – 4ac, где a = 1, b = -7, c = 6:

D = (-7)² – 4 × 1 × 6 = 49 – 24 = 25

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле x = (-b ± √D) / (2a):

x₁ = (7 + √25) / (2 × 1) = (7 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (7 – √25) / (2 × 1) = (7 – 5) / 2 = 2 / 2 = 1

Ответ: x₁ = 6, x₂ = 1

4. Решите уравнение 2x² + 3x + 4 = 0.

Решим уравнение 2x² + 3x + 4 = 0.

Найдем дискриминант D по формуле D = b² – 4ac, где a = 2, b = 3, c = 4:

D = 3² – 4 × 2 × 4 = 9 – 32 = -23

Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

5. 3/(y-2) + 7/(y+2) = 10/y;

Решим уравнение: $$ \frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y} $$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{3(y(y+2)) + 7(y(y-2))}{(y-2)(y+2)y} = \frac{10(y-2)(y+2)}{y(y-2)(y+2)} $$.

Умножим обе части уравнения на $$ y(y-2)(y+2) $$ и получим: $$ 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2) $$.

Раскроем скобки: $$ 3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10(y^2 - 4) $$.

$$ 10y^2 - 8y = 10y^2 - 40 $$.

Перенесем все в одну сторону: $$ 10y^2 - 8y - 10y^2 + 40 = 0 $$.

$$ -8y + 40 = 0 $$.

$$ 8y = 40 $$.

$$ y = \frac{40}{8} = 5 $$.

Проверим, что $$ y = 5 $$ не является корнем знаменателя, то есть $$ y
eq 0, y
eq 2, y
eq -2 $$.

Ответ: y = 5

6. Катер прошёл 18 км по течению реки, затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

Пусть x км/ч – собственная скорость катера.

Тогда скорость катера по течению реки равна (x + 4) км/ч, а против течения (x – 4) км/ч.

Время, которое катер затратил, двигаясь по течению, равно $$ \frac{18}{x+4} $$ часов, а против течения $$ \frac{20}{x-4} $$ часов.

Из условия задачи известно, что на весь путь катер затратил 2 часа. Составим уравнение: $$ \frac{18}{x+4} + \frac{20}{x-4} = 2 $$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{18(x-4) + 20(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 2 $$.

$$ \frac{18x - 72 + 20x + 80}{x^2 - 16} = 2 $$.

$$ \frac{38x + 8}{x^2 - 16} = 2 $$.

Умножим обе части уравнения на $$ x^2 - 16 $$: $$ 38x + 8 = 2(x^2 - 16) $$.

$$ 38x + 8 = 2x^2 - 32 $$.

$$ 2x^2 - 38x - 40 = 0 $$.

Разделим обе части уравнения на 2: $$ x^2 - 19x - 20 = 0 $$.

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D: D = $$ (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 361 + 80 = 441 $$.

Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 21}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$.

$$ x_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 21}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$.

Так как скорость катера не может быть отрицательной, то $$ x = 20 $$.

Ответ: 20 км/ч