Вариант 1 1. Решите уравнение 5x² + 10x = 0. 2. Решите уравнение 9x² - 4 = 0. 3. Решите уравнение 10 2x-3 = x - 1. 4. Найдите сумму и произведение корней уравнения 3x² + 5x - 1 = 0. 5. Поезд опаздывал на 1 час, и чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

Задание 1

Решите уравнение $$5x^2 + 10x = 0$$.

1. Вынесем общий множитель за скобки: $$5x(x + 2) = 0$$.
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $$5x = 0$$, либо $$x + 2 = 0$$.
3. Решим каждое уравнение:
   • $$5x = 0$$ $$=>$$ $$x = 0$$.
   • $$x + 2 = 0$$ $$=>$$ $$x = -2$$.

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -2$$.

Задание 2

Решите уравнение $$9x^2 - 4 = 0$$.

1. Разложим левую часть уравнения как разность квадратов: $$(3x - 2)(3x + 2) = 0$$.
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $$3x - 2 = 0$$, либо $$3x + 2 = 0$$.
3. Решим каждое уравнение:
   • $$3x - 2 = 0$$ $$=>$$ $$3x = 2$$ $$=>$$ $$x = \frac{2}{3}$$.
   • $$3x + 2 = 0$$ $$=>$$ $$3x = -2$$ $$=>$$ $$x = -\frac{2}{3}$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2}{3}$$.

Задание 3

Решите уравнение $$\frac{10}{2x-3} = x - 1$$.

1. Умножим обе части уравнения на $$2x - 3$$, при условии, что $$2x - 3
   eq 0$$ (то есть $$x
   eq \frac{3}{2}$$): $$10 = (x - 1)(2x - 3)$$.
2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3$$ $$=>$$ $$2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0$$ $$=>$$ $$2x^2 - 5x - 7 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение $$2x^2 - 5x - 7 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$.
4. Найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$.
5. Оба корня удовлетворяют условию $$x
   eq \frac{3}{2}$$.

Ответ: $$x_1 = 3.5$$, $$x_2 = -1$$.

Задание 4

Найдите сумму и произведение корней уравнения $$3x^2 + 5x - 1 = 0$$.

Используем теорему Виета. Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$:

• Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$.
• Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$.

В нашем случае: $$a = 3$$, $$b = 5$$, $$c = -1$$.

1. Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{5}{3}$$.
2. Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$$.

Ответ: Сумма корней: $$- \frac{5}{3}$$, произведение корней: $$- \frac{1}{3}$$.

Задание 5

Поезд опаздывал на 1 час, и чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

1. Пусть $$v$$ - скорость поезда по расписанию (км/час), тогда $$v + 10$$ - увеличенная скорость (км/час).
2. Время, которое поезд должен был затратить по расписанию: $$t = \frac{720}{v}$$.
3. Время, которое поезд затратил, увеличив скорость: $$t - 1 = \frac{720}{v + 10}$$.
4. Составим уравнение: $$\frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = 1$$.
5. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{720(v + 10) - 720v}{v(v + 10)} = 1$$ $$=>$$ $$\frac{720v + 7200 - 720v}{v^2 + 10v} = 1$$ $$=>$$ $$\frac{7200}{v^2 + 10v} = 1$$.
6. Решим уравнение: $$v^2 + 10v = 7200$$ $$=>$$ $$v^2 + 10v - 7200 = 0$$.
7. Найдем дискриминант: $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$$.
8. Найдем корни: $$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$$ $$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$$.
9. Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 80$$ км/час.

Ответ: 80 км/час.