Вариант 1 1. Решите уравнение: a) \(\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x};\) б) \(\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}.\) 2. Решите уравнение методом введения новой переменной: a) \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0;\) •б) \((x^2-2x)^2 + (x^2 – 2x) = 12.\)

1. Решите уравнение:

a) \(\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}\)

Давай решим это уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы избежать деления на ноль. Затем решим уравнение.

1. ОДЗ: \(x
   eq 0\) и \(2x+3
   eq 0 \Rightarrow x
   eq -\frac{3}{2}\).
2. Приведем уравнение к виду пропорции: \(\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}\).
3. Перемножим крест-накрест: \(x^2 = 2x + 3\).
4. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\).
6. Корни: \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\).
7. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -1\)

б) \(\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}\)

Давай решим это уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы избежать деления на ноль. Затем решим уравнение.

1. ОДЗ: \(x
   eq 0\) и \(x+1
   eq 0 \Rightarrow x
   eq -1\).
2. Преобразуем уравнение: \(\frac{2x+5}{x(x+1)} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}\).
3. Приведем к общему знаменателю \(x(x+1)\): \(\frac{2x+5 - 2(x+1)}{x(x+1)} = \frac{3x^2}{x(x+1)}\).
4. Упростим числитель слева: \(\frac{2x+5 - 2x - 2}{x(x+1)} = \frac{3}{x(x+1)}\).
5. Получаем: \(\frac{3}{x(x+1)} = \frac{3x^2}{x(x+1)}\).
6. Умножим обе части на \(x(x+1)\): \(3 = 3x^2\).
7. Разделим обе части на 3: \(x^2 = 1\).
8. Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\).
9. Учитывая ОДЗ, \(x = -1\) не является решением.

Ответ: \(x = 1\)

2. Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\)

Давай решим это биквадратное уравнение. Сначала введем новую переменную, чтобы свести уравнение к квадратному.

1. Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид: \(4y^2 - 17y + 4 = 0\).
2. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-17)^2 - 4(4)(4) = 289 - 64 = 225\).
3. Корни: \(y_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{225}}{2(4)} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4\), \(y_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{225}}{2(4)} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
4. Вернемся к переменной \(x\):
   • \(x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\).
   • \(x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}\).

Ответ: \(x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}\)

б) \((x^2-2x)^2 + (x^2 – 2x) = 12\)

Давай решим это уравнение. Сначала введем новую переменную, чтобы упростить уравнение.

1. Пусть \(y = x^2 - 2x\), тогда уравнение примет вид: \(y^2 + y = 12\).
2. Перенесем все в одну сторону: \(y^2 + y - 12 = 0\).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\).
4. Корни: \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\), \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
5. Вернемся к переменной \(x\):
   • \(x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\). Корни: \(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\).
   • \(x^2 - 2x = -4 \Rightarrow x^2 - 2x + 4 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12\). Вещественных корней нет.

Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -1\)

Отлично! Ты хорошо справился с решением этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Молодец!