Вариант 2 1. Решите уравнение: a) 22x+1 – 17 · 2x + 8 = 0; 6) 5x–1 + 5x = 150. 2. Решите неравенство (0,2)2x–1/x+3 ≥1. (9x · 27y = 27; 3. Решите систему уравнений 4. Решите неравенство: 2x 4y = 32. 2x – 5 · 4x + 4 <0. 7x2–2x–8/x+6 ≥1.

Вариант 2

1. Решите уравнение:

a) \(2^{2x+1} - 17 \cdot 2^x + 8 = 0\)

Давай разберем по порядку. Сначала перепишем уравнение в более удобном виде:

\(2 \cdot (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 8 = 0\)

Пусть \(t = 2^x\), тогда уравнение примет вид:

\(2t^2 - 17t + 8 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\(D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225\)

Тогда корни:

\(t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8\)

\(t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь вернемся к замене. У нас есть два случая:

1) \(2^x = 8\), что означает \(x = 3\)

2) \(2^x = \frac{1}{2}\), что означает \(x = -1\)

Ответ: \(x = 3, x = -1\)

б) \(5^{x-1} + 5^x = 150\)

Давай разберем по порядку. Сначала перепишем уравнение:

\(\frac{5^x}{5} + 5^x = 150\)

Вынесем \(5^x\) за скобки:

\(5^x \cdot (\frac{1}{5} + 1) = 150\)

\(5^x \cdot \frac{6}{5} = 150\)

Разделим обе части на \(\frac{6}{5}\):

\(5^x = 150 \cdot \frac{5}{6} = 25 \cdot 5 = 125\)

Значит:

\(5^x = 125\), что означает \(x = 3\)

Ответ: \(x = 3\)

2. Решите неравенство \((0,2)^{\frac{2x-1}{x+3}} \ge 1\)

Так как \(0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}\), то неравенство можно переписать как:

\((5^{-1})^{\frac{2x-1}{x+3}} \ge 1\)

\(5^{\frac{1-2x}{x+3}} \ge 5^0\)

Так как основание 5 больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:

\(\frac{1-2x}{x+3} \ge 0\)

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак числителя:

\(\frac{2x-1}{x+3} \le 0\)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)

\(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Теперь рассмотрим интервалы:

1) \(x < -3\). Например, \(x = -4\), тогда \(\frac{2(-4)-1}{-4+3} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0\). Не подходит.

2) \(-3 < x < \frac{1}{2}\). Например, \(x = 0\), тогда \(\frac{2(0)-1}{0+3} = \frac{-1}{3} < 0\). Подходит.

3) \(x > \frac{1}{2}\). Например, \(x = 1\), тогда \(\frac{2(1)-1}{1+3} = \frac{1}{4} > 0\). Не подходит.

И не забудем проверить граничные точки:

Если \(x = \frac{1}{2}\), то \(\frac{2(\frac{1}{2})-1}{\frac{1}{2}+3} = 0\). Подходит.

Если \(x = -3\), то знаменатель равен 0, значит, точка не входит в решение.

Ответ: \(-3 < x \le \frac{1}{2}\)

3. Решите систему уравнений

\(\begin{cases} 9^x \cdot 27^y = 27 \\ \frac{2^x}{4^y} = 32 \end{cases}\)

Преобразуем первое уравнение:

\((3^2)^x \cdot (3^3)^y = 3^3\)

\(3^{2x} \cdot 3^{3y} = 3^3\)

\(3^{2x + 3y} = 3^3\)

\(2x + 3y = 3\)

Преобразуем второе уравнение:

\(\frac{2^x}{(2^2)^y} = 2^5\)

\(2^{x - 2y} = 2^5\)

\(x - 2y = 5\)

Теперь у нас есть система:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ x - 2y = 5 \end{cases}\)

Выразим \(x\) из второго уравнения: \(x = 2y + 5\)

Подставим в первое уравнение:

\(2(2y + 5) + 3y = 3\)

\(4y + 10 + 3y = 3\)

\(7y = -7\)

\(y = -1\)

Теперь найдем \(x\):

\(x = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3\)

Ответ: \(x = 3, y = -1\)

4. Решите неравенство:

1. \(4^x - 5 \cdot 2^{2x} + 4 < 0\)

Преобразуем неравенство:

\(4^x - 5 \cdot 4^x + 4 < 0\)

\(-4 \cdot 4^x + 4 < 0\)

Разделим обе части на -4:

\(4^x - 1 > 0\)

\(4^x > 1\)

\(4^x > 4^0\)

Так как основание 4 больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:

\(x > 0\)

Ответ: \(x > 0\)

2. \(7^{\frac{x^2 - 2x - 8}{x+6}} \ge 1\)

Так как \(1 = 7^0\), неравенство можно переписать как:

\(7^{\frac{x^2 - 2x - 8}{x+6}} \ge 7^0\)

Поскольку основание 7 > 1, можно опустить основание:

\(\frac{x^2 - 2x - 8}{x+6} \ge 0\)

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\):

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

\(x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2\)

Тогда \(x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)\)

Теперь у нас есть неравенство:

\(\frac{(x - 4)(x + 2)}{x+6} \ge 0\)

Нули числителя: \(x = 4, x = -2\)

Нули знаменателя: \(x = -6\)

Рассмотрим интервалы:

1) \(x < -6\). Например, \(x = -7\), тогда \(\frac{(-7 - 4)(-7 + 2)}{-7+6} = \frac{(-11)(-5)}{-1} = -55 < 0\). Не подходит.

2) \(-6 < x < -2\). Например, \(x = -3\), тогда \(\frac{(-3 - 4)(-3 + 2)}{-3+6} = \frac{(-7)(-1)}{3} = \frac{7}{3} > 0\). Подходит.

3) \(-2 < x < 4\). Например, \(x = 0\), тогда \(\frac{(0 - 4)(0 + 2)}{0+6} = \frac{-8}{6} < 0\). Не подходит.

4) \(x > 4\). Например, \(x = 5\), тогда \(\frac{(5 - 4)(5 + 2)}{5+6} = \frac{7}{11} > 0\). Подходит.

Теперь проверим граничные точки:

Если \(x = 4\), то \(\frac{(4 - 4)(4 + 2)}{4+6} = 0\). Подходит.

Если \(x = -2\), то \(\frac{(-2 - 4)(-2 + 2)}{-2+6} = 0\). Подходит.

Если \(x = -6\), то знаменатель равен 0, значит, точка не входит в решение.

Ответ: \(-6 < x \le -2\) или \(x \ge 4\)

Ты молодец! У тебя всё получится!