Вариант 1 1. Решите уравнение: a) 5x2 - 25x = 0; 6) 5x2+3x-2=0; x²+10x+9=0; r) 3x2-9=0; д) 5х2х+2=0; e) 25x2 + 110x + 121 = 0. 2. Произведение двух натуральных чисел равно 180, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа. 3. Один из корней уравнения х² + 11x + q = 0 равен -7. Найти второй корень и свободный член.

Задание 1. Решите уравнение:

1. a) $$5x^2 - 25x = 0$$
   Вынесем общий множитель за скобки:
   $$5x(x-5)=0$$
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$5x = 0$$ или $$x-5 = 0$$
   $$x_1 = 0$$ или $$x_2 = 5$$
   
   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 5$$.
2. б) $$5x^2 + 3x - 2 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$
   Найдем корни:
   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 \pm 7}{10}$$
   $$x_1 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$
   $$x_2 = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$
   
   Ответ: $$x_1 = 0.4$$, $$x_2 = -1$$.
3. в) $$x^2 + 10x + 9 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$
   Найдем корни:
   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 8}{2}$$
   $$x_1 = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
   $$x_2 = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$
   
   Ответ: $$x_1 = -1$$, $$x_2 = -9$$.
4. г) $$3x^2 - 9 = 0$$
   $$3x^2 = 9$$
   $$x^2 = \frac{9}{3} = 3$$
   $$x = \pm \sqrt{3}$$
   $$x_1 = \sqrt{3}$$
   $$x_2 = -\sqrt{3}$$
   
   Ответ: $$x_1 = \sqrt{3}$$, $$x_2 = -\sqrt{3}$$.
5. д) $$5x^2 - x + 2 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39$$
   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
   
   Ответ: Корней нет.
6. e) $$25x^2 + 110x + 121 = 0$$
   $$(5x + 11)^2 = 0$$
   $$5x + 11 = 0$$
   $$5x = -11$$
   $$x = -\frac{11}{5} = -2.2$$
   
   Ответ: $$x = -2.2$$.

Задание 2. Произведение двух натуральных чисел равно 180, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x + 3. Их произведение равно 180:
$$x(x + 3) = 180$$
$$x^2 + 3x - 180 = 0$$
Найдем дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$$
Найдем корни:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 27}{2}$$
$$x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
$$x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$
Так как числа натуральные, то $$x = 12$$.
Тогда второе число: $$x + 3 = 12 + 3 = 15$$
Ответ: 12 и 15.

Задание 3. Один из корней уравнения $$x^2 + 11x + q = 0$$ равен -7. Найти второй корень и свободный член.

Пусть $$x_1 = -7$$. По теореме Виета:
$$x_1 + x_2 = -11$$
$$-7 + x_2 = -11$$
$$x_2 = -11 + 7 = -4$$
$$x_1 \cdot x_2 = q$$
$$q = -7 \cdot (-4) = 28$$
Ответ: Второй корень равен -4, свободный член равен 28.