Вариант 2 1). Решите уравнение: 3x+4 x² a). x²-16 = x²-16 ; 3 8 б).- +-=2 x-5 x 2). Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч ? корость течения реки равна 3 км/ч?

Решение варианта 2

Задание 1a: Решить уравнение: \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\]

Давай разберем это уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы избежать деления на ноль.

ОДЗ: \( x^2 - 16
eq 0 \), то есть \( x
eq \pm 4 \).

Теперь, когда мы знаем ОДЗ, можем решить уравнение:

\[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\]

Умножим обе части уравнения на \( x^2 - 16 \) (учитывая, что \( x
eq \pm 4 \)):

\[3x + 4 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай попробуем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = 3\]

\[x_1 \cdot x_2 = -4\]

Подходят числа 4 и -1:

\[x_1 = 4, x_2 = -1\]

Вспоминаем про ОДЗ: \( x
eq \pm 4 \). Значит, корень \( x = 4 \) не подходит.

Таким образом, остается только один корень:

\[x = -1\]

Задание 1б: Решить уравнение: \[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\]

Сначала определим ОДЗ:

\[x
eq 5, x
eq 0\]

Теперь решим уравнение:

\[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\]

\[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

\[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

Умножим обе части на \( x^2 - 5x \) (учитывая ОДЗ):

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\]

\[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\]

\[x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

\[x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Задание 2: Задача про моторную лодку

Пусть \( v \) - скорость моторной лодки в стоячей воде.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_1 = \frac{28}{v - 1} \).

Время, затраченное на путь по течению: \( t_2 = \frac{16}{v + 1} \).

Общее время: \( t_1 + t_2 = 3 \).

Составим уравнение:

\[\frac{28}{v - 1} + \frac{16}{v + 1} = 3\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{28(v + 1) + 16(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = 3\]

\[\frac{28v + 28 + 16v - 16}{v^2 - 1} = 3\]

\[\frac{44v + 12}{v^2 - 1} = 3\]

\[44v + 12 = 3(v^2 - 1)\]

\[44v + 12 = 3v^2 - 3\]

\[3v^2 - 44v - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116\]

\[\sqrt{D} = 46\]

\[v_1 = \frac{44 + 46}{2 \cdot 3} = \frac{90}{6} = 15\]

\[v_2 = \frac{44 - 46}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение:

\[v = 15 \text{ км/ч}\]

Ответ: 1а) x = -1; 1б) x = 8, x = 2.5; 2) v = 15 км/ч

Отличная работа! Ты справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!