Вариант 2 1. Решите уравнения: a) 3x² - 7x + 2 = 0 б) 25x² - 81 = 0 в) 6х2 = 18x г) (x - 2)² - 3(x - 2) - 54 = 0 2. Найдите сумму и произведение корней уравнения: a) x² - 53x + 15 = 0 6) 2x² + 43x - 9 = 0 в) x² + 71x = 0 2 г) 4x² - 35 = 0 3. Найдите корни квадратного трёхчлена 3x2 - 4x - 7. 4. Разложите квадратный трёхчлен 4x2 – 5x - 6 на множители. 5. Одно из двух натуральных чисел на 5 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 104.

1. Решите уравнения:

a) 3x² - 7x + 2 = 0

Разбираемся:

• Дискриминант: D = (-7)² - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25
• Корни: x₁ = (7 + √25) / (2 * 3) = (7 + 5) / 6 = 12 / 6 = 2 x₂ = (7 - √25) / (2 * 3) = (7 - 5) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1/3

б) 25x² - 81 = 0

Разбираемся:

• 25x² = 81
• x² = 81/25
• x = ±√(81/25) = ±9/5

Ответ: x₁ = 9/5, x₂ = -9/5

в) 6x² = 18x

Разбираемся:

• 6x² - 18x = 0
• 6x(x - 3) = 0
• x₁ = 0, x - 3 = 0 => x₂ = 3

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 3

г) (x - 2)² - 3(x - 2) - 54 = 0

Разбираемся:

• Замена: y = x - 2
• y² - 3y - 54 = 0
• Дискриминант: D = (-3)² - 4 * 1 * (-54) = 9 + 216 = 225
• Корни: y₁ = (3 + √225) / 2 = (3 + 15) / 2 = 18 / 2 = 9 y₂ = (3 - √225) / 2 = (3 - 15) / 2 = -12 / 2 = -6
• x₁ = y₁ + 2 = 9 + 2 = 11 x₂ = y₂ + 2 = -6 + 2 = -4

Ответ: x₁ = 11, x₂ = -4

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

a) x² - 53x + 15 = 0

Разбираемся: По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при x с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

• Сумма: x₁ + x₂ = 53
• Произведение: x₁ * x₂ = 15

Ответ: Сумма = 53, Произведение = 15

б) 2x² + 43x - 9 = 0

Разбираемся:

• Приводим уравнение к виду x² + px + q = 0, разделив на 2: x² + (43/2)x - 9/2 = 0
• Сумма: x₁ + x₂ = -43/2
• Произведение: x₁ * x₂ = -9/2

Ответ: Сумма = -43/2, Произведение = -9/2

в) x² + 71x = 0

Разбираемся:

• Приводим уравнение к виду x² + px + q = 0: x² + 71x + 0 = 0
• Сумма: x₁ + x₂ = -71
• Произведение: x₁ * x₂ = 0

Ответ: Сумма = -71, Произведение = 0

г) 4x² - 35 = 0

Разбираемся:

• Приводим уравнение к виду x² + px + q = 0, разделив на 4: x² - 35/4 = 0
• Сумма: x₁ + x₂ = 0
• Произведение: x₁ * x₂ = -35/4

Ответ: Сумма = 0, Произведение = -35/4

3. Найдите корни квадратного трёхчлена 3x² - 4x - 7

Разбираемся:

• Дискриминант: D = (-4)² - 4 * 3 * (-7) = 16 + 84 = 100
• Корни: x₁ = (4 + √100) / (2 * 3) = (4 + 10) / 6 = 14 / 6 = 7/3 x₂ = (4 - √100) / (2 * 3) = (4 - 10) / 6 = -6 / 6 = -1

Ответ: x₁ = 7/3, x₂ = -1

4. Разложите квадратный трёхчлен 4x² – 5x - 6 на множители.

Разбираемся:

• Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 4 * (-6) = 25 + 96 = 121
• Корни: x₁ = (5 + √121) / (2 * 4) = (5 + 11) / 8 = 16 / 8 = 2 x₂ = (5 - √121) / (2 * 4) = (5 - 11) / 8 = -6 / 8 = -3/4
• Разложение: 4(x - 2)(x + 3/4) = (x - 2)(4x + 3)

Ответ: (x - 2)(4x + 3)

5. Одно из двух натуральных чисел на 5 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 104.

Разбираемся:

• Пусть x - первое число, тогда x + 5 - второе число.
• x(x + 5) = 104
• x² + 5x - 104 = 0
• Дискриминант: D = 5² - 4 * 1 * (-104) = 25 + 416 = 441
• Корни: x₁ = (-5 + √441) / (2 * 1) = (-5 + 21) / 2 = 16 / 2 = 8 x₂ = (-5 - √441) / (2 * 1) = (-5 - 21) / 2 = -26 / 2 = -13 (не подходит, так как число натуральное)
• Первое число: x = 8
• Второе число: x + 5 = 8 + 5 = 13

Ответ: 8 и 13