Вариант 1 1. Рис. 3.169. Дано: ав, с - секущая, 21+ 2 = 102". Найти: все образовавшиеся углы. 2. Рис. 3.170. Дано: 21 = 2, 3=120". Найти: 24. 3. Отрезок АД - биссектриса треугольника АВС. Через точку D прове- дена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точ- ке Г. Найти углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, Ke MN). DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение:

1. Задача 1. Рис. 3.169.

   Дано: $$a \parallel b$$, $$c$$ - секущая, $$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$.

   Найти: все образовавшиеся углы.

   Решение:

   Т.к. прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, то $$\angle 1 = \angle 2$$.

   Тогда, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$$.

   $$\angle 1$$ и смежный с ним угол (обозначим его $$\angle 3$$) в сумме составляют 180°, значит $$\angle 3 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$.

   $$\angle 3$$ и $$\angle 4$$ вертикальные, значит $$\angle 3 = \angle 4 = 129^\circ$$.

   Аналогично, $$\angle 5 = \angle 1 = 51^\circ$$, $$\angle 6 = \angle 2 = 51^\circ$$, $$\angle 7 = \angle 3 = 129^\circ$$, $$\angle 8 = \angle 4 = 129^\circ$$.

   Ответ: $$\angle 1 = \angle 2 = \angle 5 = \angle 6 = 51^\circ$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \angle 7 = \angle 8 = 129^\circ$$.

2. Задача 2. Рис. 3.170.

   Дано: $$\angle 1 = \angle 2$$, $$\angle 3 = 120^\circ$$.

   Найти: $$\angle 4$$.

   Решение:

   Так как AD - биссектриса, то $$\angle 1 = \angle 2$$.

   Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$$.

   $$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$.

   $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$.

   $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ - накрест лежащие углы при прямых $$n$$ и $$m$$ и секущей $$AB$$. Так как $$\angle 2 = \angle 4$$, то $$n \parallel m$$.

   Тогда $$\angle 4 = \angle 2 = 30^\circ$$.

   Ответ: $$\angle 4 = 30^\circ$$.

3. Задача 3.

   Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F.

   Найти углы треугольника ADF, если $$\angle BAC = 72^\circ$$.

   Решение:

   Т.к. DF || AB, то $$\angle DFA = \angle BAC = 72^\circ$$ (соответственные углы при параллельных прямых AB и DF и секущей AC).

   Т.к. AD - биссектриса, то $$\angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$.

   В треугольнике сумма углов равна 180°, значит $$\angle ADF = 180^\circ - \angle DAF - \angle DFA = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ$$.

   Ответ: $$\angle DAF = 36^\circ$$, $$\angle DFA = 72^\circ$$, $$\angle ADF = 72^\circ$$.

4. Задача 4*.

   Прямая EK является секущей для прямых CD и MN (E ∈ CD, K ∈ MN).

   $$\angle DEK = 65^\circ$$. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

   Решение:

   Прямые CD и MN будут параллельны, если $$\angle DEK = \angle NKE$$ как накрест лежащие углы.

   То есть $$\angle NKE = 65^\circ$$.

   Ответ: $$\angle NKE = 65^\circ$$.