Вариант 4. 1. 2sin2x + sin x = 0 2. 6 cos²x + 7 cosx-3=0 3.5-4sin²x = 4 cos x 4.21g²x-3tgx = 0 5. 6tgx-2ctgx-4=0 6.3 sin 4x = 2cos4x 7.7 sin x + cosx = 7 8.4sinx-3sinxcosx-2cos²x=0

1. Решение уравнения: 2sin²x + sin x = 0

• Выносим sin x за скобки: sin x (2sin x + 1) = 0
• Получаем два случая:
• sin x = 0, откуда x = \( \pi n \), где n ∈ Z
• 2sin x + 1 = 0, откуда sin x = -1/2, x = \((-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k\), где k ∈ Z

2. Решение уравнения: 6cos²x + 7cosx - 3 = 0

• Делаем замену: cos x = t, тогда уравнение принимает вид 6t² + 7t - 3 = 0
• Находим корни квадратного уравнения: D = 49 - 4 * 6 * (-3) = 49 + 72 = 121, t₁ = (-7 + 11) / 12 = 1/3, t₂ = (-7 - 11) / 12 = -3/2
• Так как -1 ≤ cos x ≤ 1, то t₂ = -3/2 не подходит.
• cos x = 1/3, x = ±arccos(1/3) + 2\(\pi n\), где n ∈ Z

3. Решение уравнения: 5 - 4sin²x = 4cos x

• Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x = 1 - cos²x, тогда уравнение принимает вид 5 - 4(1 - cos²x) = 4cos x
• Упрощаем: 5 - 4 + 4cos²x = 4cos x, 4cos²x - 4cos x + 1 = 0
• (2cos x - 1)² = 0, откуда cos x = 1/2, x = ±\( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где n ∈ Z

4. Решение уравнения: 2tg²x - 3tgx = 0

• Выносим tgx за скобки: tgx (2tgx - 3) = 0
• Получаем два случая:
• tgx = 0, откуда x = \(\pi n\), где n ∈ Z
• 2tgx - 3 = 0, откуда tgx = 3/2, x = arctg(3/2) + \(\pi n\), где n ∈ Z

5. Решение уравнения: 6tgx - 2ctgx - 4 = 0

• Заменяем ctgx = 1/tgx, тогда уравнение принимает вид 6tgx - 2/tgx - 4 = 0
• Умножаем на tgx: 6tg²x - 4tgx - 2 = 0, 3tg²x - 2tgx - 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение относительно tgx: D = 4 - 4 * 3 * (-1) = 16, tgx₁ = (2 + 4) / 6 = 1, tgx₂ = (2 - 4) / 6 = -1/3
• Для tgx = 1, x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), где n ∈ Z
• Для tgx = -1/3, x = arctg(-1/3) + \(\pi n\), где n ∈ Z

6. Решение уравнения: 3sin 4x = 2cos 4x

• Делим обе части на cos 4x: 3tg 4x = 2, tg 4x = 2/3
• 4x = arctg(2/3) + \(\pi n\), где n ∈ Z
• x = \(\frac{1}{4}\) arctg(2/3) + \(\frac{\pi n}{4}\), где n ∈ Z

7. Решение уравнения: 7sin x + cosx = 7

• Выражаем cosx = 7 - 7sinx, возводим обе части в квадрат: cos²x = (7-7sinx)²
• Заменяем cos²x на 1 - sin²x: 1 - sin²x = 49 - 98sinx + 49sin²x
• Преобразуем: 50sin²x - 98sinx + 48 = 0, 25sin²x - 49sinx + 24 = 0
• Решаем квадратное уравнение: D = 49² - 4 * 25 * 24 = 2401 - 2400 = 1, sinx₁ = (49 + 1) / 50 = 1, sinx₂ = (49 - 1) / 50 = 48/50 = 24/25
• Если sinx = 1, то x = \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где n ∈ Z
• Если sinx = 24/25, то x = arcsin(24/25) + 2\(\pi n\) и x = \(\pi\) - arcsin(24/25) + 2\(\pi n\), где n ∈ Z
• Необходимо проверить корни, так как возводили в квадрат.

8. Решение уравнения: 4sin²x - 3sinxcosx - 2cos²x = 0

• Делим обе части на cos²x: 4tg²x - 3tgx - 2 = 0
• Решаем квадратное уравнение относительно tgx: D = 9 - 4 * 4 * (-2) = 9 + 32 = 41, tgx₁ = (3 + \(\sqrt{41}\)) / 8, tgx₂ = (3 - \(\sqrt{41}\)) / 8
• Для tgx₁ = (3 + \(\sqrt{41}\)) / 8, x = arctg((3 + \(\sqrt{41}\)) / 8) + \(\pi n\), где n ∈ Z
• Для tgx₂ = (3 - \(\sqrt{41}\)) / 8, x = arctg((3 - \(\sqrt{41}\)) / 8) + \(\pi n\), где n ∈ Z