Вариант 2 1. Сравнить а) \(\frac{8}{9}\) и \(\frac{17}{18}\), б) \(\frac{5}{9}\) и \(\frac{4}{7}\), в) \(\frac{7}{15}\) и \(\frac{13}{18}\) 2. Вычислить а) \(\frac{3}{4} + \frac{5}{7}\), б) \(\frac{7}{25} + \frac{4}{10}\), в) \(\frac{19}{24} - \frac{25}{36}\) г) \(\frac{11}{18} - \frac{5}{12}\), д) \(9 \frac{3}{4} + 3 \frac{1}{6}\), е) \(7 \frac{8}{9} - 2 \frac{7}{12}\) 3. Решить уравнение а) \(x - 7 \frac{1}{3} = 12 \frac{5}{12}\), б) \((5 \frac{7}{9} - x) + 2 \frac{3}{4} = 3 \frac{5}{12}\) 4. Сократить дробь а) \(\frac{32}{40}\), б) \(\frac{48}{54}\), в) \(\frac{6}{40}\) 5. Для приготовления 12 кг мороженого взяли \(7 \frac{4}{15}\) кг вода, \(2 \frac{11}{20}\) кг молочного жира, \(1 \frac{23}{30}\) кг сахара и фруктовый сироп. Сколько кг сиропа взяли для изготовления мороженого?

1. Сравнить

a) Сравним дроби \(\frac{8}{9}\) и \(\frac{17}{18}\). Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 18 - это 18. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2: \(\frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{16}{18}\). Теперь сравним \(\frac{16}{18}\) и \(\frac{17}{18}\). Так как \(16 < 17\), то \(\frac{16}{18} < \frac{17}{18}\), следовательно, \(\frac{8}{9} < \frac{17}{18}\).

б) Сравним дроби \(\frac{5}{9}\) и \(\frac{4}{7}\). Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 7 - это 63. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а числитель и знаменатель второй дроби на 9: \(\frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}\) и \(\frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}\). Так как \(35 < 36\), то \(\frac{35}{63} < \frac{36}{63}\), следовательно, \(\frac{5}{9} < \frac{4}{7}\).

в) Сравним дроби \(\frac{7}{15}\) и \(\frac{13}{18}\). Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 18 - это 90. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 6, а числитель и знаменатель второй дроби на 5: \(\frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{42}{90}\) и \(\frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90}\). Так как \(42 < 65\), то \(\frac{42}{90} < \frac{65}{90}\), следовательно, \(\frac{7}{15} < \frac{13}{18}\).

2. Вычислить

a) \(\frac{3}{4} + \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{21}{28} + \frac{20}{28} = \frac{41}{28} = 1 \frac{13}{28}\)

б) \(\frac{7}{25} + \frac{4}{10} = \frac{7 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{14}{50} + \frac{20}{50} = \frac{34}{50} = \frac{17}{25}\)

в) \(\frac{19}{24} - \frac{25}{36}\). Общий знаменатель для 24 и 36 - это 72. \(\frac{19 \cdot 3}{24 \cdot 3} - \frac{25 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{57}{72} - \frac{50}{72} = \frac{7}{72}\)

г) \(\frac{11}{18} - \frac{5}{12}\). Общий знаменатель для 18 и 12 - это 36. \(\frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{22}{36} - \frac{15}{36} = \frac{7}{36}\)

д) \(9 \frac{3}{4} + 3 \frac{1}{6} = 9 + \frac{3}{4} + 3 + \frac{1}{6} = 12 + \frac{3}{4} + \frac{1}{6}\). Общий знаменатель для 4 и 6 - это 12. \(12 + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 12 + \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = 12 + \frac{11}{12} = 12 \frac{11}{12}\)

е) \(7 \frac{8}{9} - 2 \frac{7}{12} = 7 + \frac{8}{9} - 2 - \frac{7}{12} = 5 + \frac{8}{9} - \frac{7}{12}\). Общий знаменатель для 9 и 12 - это 36. \(5 + \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 5 + \frac{32}{36} - \frac{21}{36} = 5 + \frac{11}{36} = 5 \frac{11}{36}\)

3. Решить уравнение

a) \(x - 7 \frac{1}{3} = 12 \frac{5}{12}\). \(x = 12 \frac{5}{12} + 7 \frac{1}{3} = 12 + \frac{5}{12} + 7 + \frac{1}{3} = 19 + \frac{5}{12} + \frac{1}{3}\). \(\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}\). \(x = 19 + \frac{5}{12} + \frac{4}{12} = 19 + \frac{9}{12} = 19 + \frac{3}{4} = 19 \frac{3}{4}\)

б) \((5 \frac{7}{9} - x) + 2 \frac{3}{4} = 3 \frac{5}{12}\). \(5 \frac{7}{9} - x = 3 \frac{5}{12} - 2 \frac{3}{4}\). \(3 \frac{5}{12} - 2 \frac{3}{4} = 3 + \frac{5}{12} - 2 - \frac{3}{4} = 1 + \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 1 + \frac{5}{12} - \frac{9}{12} = 1 - \frac{4}{12} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). \(5 \frac{7}{9} - x = \frac{2}{3}\). \(x = 5 \frac{7}{9} - \frac{2}{3} = 5 + \frac{7}{9} - \frac{2}{3} = 5 + \frac{7}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 5 + \frac{7}{9} - \frac{6}{9} = 5 + \frac{1}{9} = 5 \frac{1}{9}\)

4. Сократить дробь

а) \(\frac{32}{40} = \frac{32 \div 8}{40 \div 8} = \frac{4}{5}\)

б) \(\frac{48}{54} = \frac{48 \div 6}{54 \div 6} = \frac{8}{9}\)

в) \(\frac{6}{40} = \frac{6 \div 2}{40 \div 2} = \frac{3}{20}\)

5. Задача

Общая масса мороженого: 12 кг

Масса воды: \(7 \frac{4}{15}\) кг

Масса молочного жира: \(2 \frac{11}{20}\) кг

Масса сахара и фруктового сиропа: \(1 \frac{23}{30}\) кг

Нужно найти массу сиропа.

Сначала найдем общую массу воды, жира и сахара: \(7 \frac{4}{15} + 2 \frac{11}{20} + 1 \frac{23}{30} = 7 + \frac{4}{15} + 2 + \frac{11}{20} + 1 + \frac{23}{30} = 10 + \frac{4}{15} + \frac{11}{20} + \frac{23}{30}\). Общий знаменатель для 15, 20 и 30 - это 60.

\(10 + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{23 \cdot 2}{30 \cdot 2} = 10 + \frac{16}{60} + \frac{33}{60} + \frac{46}{60} = 10 + \frac{16+33+46}{60} = 10 + \frac{95}{60} = 10 + \frac{95 \div 5}{60 \div 5} = 10 + \frac{19}{12} = 10 + 1 \frac{7}{12} = 11 \frac{7}{12}\)

Теперь найдем массу сиропа: \(12 - 11 \frac{7}{12} = 12 - 11 - \frac{7}{12} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}\) кг

Ответ: 1. a) \(\frac{8}{9} < \frac{17}{18}\), б) \(\frac{5}{9} < \(\frac{4}{7}\), в) \(\frac{7}{15} < \frac{13}{18}\) 2. а) \(1 \frac{13}{28}\), б) \(\frac{17}{25}\), в) \(\frac{7}{72}\), г) \(\frac{7}{36}\), д) \(12 \frac{11}{12}\), е) \(5 \frac{11}{36}\). 3. а) \(19 \frac{3}{4}\), б) \(5 \frac{1}{9}\). 4. а) \(\frac{4}{5}\), б) \(\frac{8}{9}\), в) \(\frac{3}{20}\). 5. \(\frac{5}{12}\) кг