Вариант 1 1. Сравните значения числовых выражений А=---- и В=- 112 2-3 1 26 3 4 3 2. Известно, что а > в. Расположите в порядке возрастания числа а + 11, b5, a + 2, b-8, b 3. 3. Докажите неравенство (x + 2)² ≥ 8x. 4. Докажите неравенство 3х2 - 6x + 5 > 0. 5. Для числа а выполнено неравенство 4 < а < 5. Оцените значение выражения 2а – 7. 6. Известны границы длин основания а и боковой стороны в равнобедренного треугольника (в мм): 24 ≤ a ≤ 26 и 32 ≤ b ≤ 34. Оцените периметр треугольника.

Решение задания №1

Давай сравним значения числовых выражений A и B. Сначала упростим каждое из них:

Для выражения A:

\[A = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3}\]

Приведем дроби к общему знаменателю, равному 6:

\[A = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = \frac{3 + 1 - 4}{6} = \frac{0}{6} = 0\]

Теперь упростим выражение B:

\[B = \frac{3}{4} \cdot (-1\frac{1}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{3})\] \[B = -\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} = -\frac{12}{12} = -1\]

Сравним значения A и B:

A = 0, B = -1

Поскольку 0 > -1, то A > B.

Ответ: A > B

Молодец! Ты отлично справился с первым заданием. Переходим к следующему!

Решение задания №2

Известно, что a > b. Нужно расположить в порядке возрастания числа a + 11, b – 5, a + 2, b – 8, b – 3.

Так как a > b, мы можем сравнить числа, добавляя или вычитая одинаковые значения из обеих переменных:

Сравним b – 8, b – 5 и b – 3:

b – 8 < b – 5 < b – 3 (потому что вычитаем разные числа)

Сравним a + 2 и a + 11:

a + 2 < a + 11 (потому что прибавляем разные числа)

Теперь сравним a + 2 и b – 3.

Так как a > b, то a + 2 > b + 2. И так как b + 2 > b – 3, то a + 2 > b – 3.

Теперь сравним a + 11 и b – 5.

a + 11 > b + 11, и так как b + 11 > b – 5, то a + 11 > b – 5.

Теперь расположим все числа в порядке возрастания:

b – 8 < b – 5 < b – 3 < a + 2 < a + 11

Ответ: b – 8, b – 5, b – 3, a + 2, a + 11

Отлично! Теперь ты умеешь сравнивать выражения с переменными. Продолжай в том же духе!

Решение задания №3

Докажем неравенство (x + 2)² ≥ 8x.

Раскроем квадрат:

\[(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\]

Теперь запишем неравенство:

\[x^2 + 4x + 4 \ge 8x\]

Перенесем 8x в левую часть:

\[x^2 + 4x - 8x + 4 \ge 0\] \[x^2 - 4x + 4 \ge 0\]

Заметим, что это полный квадрат:

\[(x - 2)^2 \ge 0\]

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно для всех x.

Ответ: Неравенство (x + 2)² ≥ 8x доказано, так как (x - 2)² ≥ 0 для всех x.

Прекрасно! Ты доказал неравенство. Идем дальше!

Решение задания №4

Докажем неравенство 3x² – 6x + 5 > 0.

Рассмотрим квадратный трехчлен 3x² – 6x + 5. Чтобы доказать, что он всегда больше нуля, можно найти его дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24\]

Поскольку дискриминант отрицательный (D < 0) и коэффициент при x² положителен (a = 3 > 0), то парабола y = 3x² – 6x + 5 не пересекает ось x и всегда находится выше неё. Следовательно, 3x² – 6x + 5 > 0 для всех x.

Ответ: Неравенство 3x² – 6x + 5 > 0 доказано, так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при x² положителен.

Отлично! Ты умеешь доказывать неравенства. Продолжаем!

Решение задания №5

Для числа a выполнено неравенство 4 < a < 5. Оценим значение выражения 2a – 7.

Умножим все части неравенства на 2:

\[2 \cdot 4 < 2a < 2 \cdot 5\] \[8 < 2a < 10\]

Теперь вычтем 7 из всех частей неравенства:

\[8 - 7 < 2a - 7 < 10 - 7\] \[1 < 2a - 7 < 3\]

Таким образом, значение выражения 2a – 7 находится между 1 и 3.

Ответ: 1 < 2a – 7 < 3

Молодец! Ты умеешь оценивать выражения. Осталось последнее задание!

Решение задания №6

Известны границы длин основания a и боковой стороны b равнобедренного треугольника (в мм): 24 ≤ a ≤ 26 и 32 ≤ b ≤ 34. Оценим периметр треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника равен P = a + 2b.

Оценим 2b:

\[2 \cdot 32 \le 2b \le 2 \cdot 34\] \[64 \le 2b \le 68\]

Теперь оценим периметр P = a + 2b:

Для минимального значения:

\[P_{min} = a_{min} + 2b_{min} = 24 + 64 = 88\]

Для максимального значения:

\[P_{max} = a_{max} + 2b_{max} = 26 + 68 = 94\]

Таким образом, периметр треугольника находится в диапазоне от 88 мм до 94 мм.

Ответ: 88 ≤ P ≤ 94

Замечательно! Ты успешно решил все задания. Ты молодец!