Вариант 1 1. Средние линии треугольника относятся как 2 : 2 : 4, а пе- риметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треуголь- ника. 2. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересе- кающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см. 3. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) АС = 5 см, ВС = 5√3 см. Найдите угол В и гипотенузу АВ. 4. В треугольнике ABC LA = а, ∠C = В, сторона ВС = 7 см, ВН - высота. Найдите АН. 5*. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересека- ются в точке К, причем точка В - середина отрезка АК. Найдите MAA Dano: SABC; AB=RCM; BC=1Ben; 28=70° AHNK; H = Een; NK = gcn; <N=70% ) or (треугольника

Решение задачи №1

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда средние линии треугольника равны 2x, 2x и 4x. Так как средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, стороны треугольника будут равны 4x, 4x и 8x.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: P = 4x + 4x + 8x = 16x

По условию периметр равен 45 см, поэтому:

16x = 45

x = 45/16 = 2.8125

Теперь найдем стороны треугольника:

• Первая сторона: 4x = 4 * 2.8125 = 11.25 см
• Вторая сторона: 4x = 4 * 2.8125 = 11.25 см
• Третья сторона: 8x = 8 * 2.8125 = 22.5 см

Ответ: 11.25 см, 11.25 см, 22.5 см

Решение задачи №2

Так как медианы треугольника пересекаются в точке O, то точка O делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Прямая EF параллельна стороне AC, следовательно, треугольники ΔEBO и ΔABO подобны, а также треугольники ΔOFC и ΔOAC подобны.

Из подобия треугольников следует, что EO/AO = BO/BO = 1/3 и OF/OC = BO/BO = 1/3. Значит, EO = (1/3) * AO и OF = (1/3) * OC.

Так как AO = (2/3) * AM (где AM – медиана) и OC = (2/3) * CN (где CN – медиана), то EO = (1/3) * (2/3) * AM = (2/9) * AM и OF = (1/3) * (2/3) * CN = (2/9) * CN.

Теперь рассмотрим треугольник ΔABC. Так как EF параллельна AC, то треугольник ΔEBF подобен треугольнику ΔABC. Значит, EF/AC = BE/BA = BF/BC.

Из того, что EO/AO = 1/3 и OF/OC = 1/3, следует, что EF = (1/3) * AC.

Если AC = 15 см, то EF = (1/3) * 15 = 5 см.

Ответ: EF = 5 см

Решение задачи №3

Дано: прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, AC = 5 см, BC = 5√3 см.

Чтобы найти угол B, воспользуемся тангенсом угла B:

\[ tg(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Угол, тангенс которого равен 1/√3, равен 30 градусам.

∠B = 30°

Чтобы найти гипотенузу AB, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 25 \cdot 3 = 25 + 75 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

AB = 10 см

Ответ: ∠B = 30°, AB = 10 см

Решение задачи №4

Дано: треугольник ABC, ∠A = α, ∠C = β, BC = 7 см, BH – высота.

Нужно найти AH.

В прямоугольном треугольнике BHC:

\[ BH = BC \cdot sin(C) = 7 \cdot sin(β) \]

В прямоугольном треугольнике ABH:

\[ AH = BH \cdot ctg(α) = 7 \cdot sin(β) \cdot ctg(α) \]

Или можно записать так:

\[ AH = BH \cdot \frac{cos(α)}{sin(α)} = 7 \cdot sin(β) \cdot \frac{cos(α)}{sin(α)} \]

Ответ: AH = 7 * sin(β) * ctg(α)

Решение задачи №5

В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, причем точка B - середина отрезка AK.

Нужно найти отношение сторон AD и BC.

Так как B - середина AK, то AB = BK. Рассмотрим треугольники ΔBCK и ΔADK. Они подобны, так как углы при основании равны (трапеция).

Из подобия треугольников следует, что:

\[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{AK} \]

Так как BK = AB и AK = 2 * AB, то:

\[ \frac{BC}{AD} = \frac{AB}{2 \cdot AB} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, AD = 2 * BC.

Ответ: AD = 2BC, то есть AD в два раза больше BC