Вариант 1 1. Сторона квадрата равна 5√3. Найдите площадь этого квадрата. 2. Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его вы- соты. В ответе укажите большую высоту. 3. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции. 4. Периметр ромба равен 56, а один из уг- лов равен 30°. Найдите площадь ромба. 5. Периметр параллелограмма равен 32см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сто- рон равна 6 см.

1. Дано: квадрат, сторона квадрата равна $$5\sqrt{3}$$. Найти: площадь квадрата. Решение: Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $$S = a^2$$, где a - сторона квадрата. $$S = (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$$. Ответ: 75 2. Дано: параллелограмм, площадь равна 32, стороны равны 8 и 16. Найти: большую высоту. Решение: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$, где a, b - стороны параллелограмма, $$h_a, h_b$$ - высоты, проведенные к сторонам a и b соответственно. $$32 = 8 \cdot h_1$$ и $$32 = 16 \cdot h_2$$. $$h_1 = \frac{32}{8} = 4$$ и $$h_2 = \frac{32}{16} = 2$$. Большая высота равна 4. Ответ: 4 3. Дано: равнобедренная трапеция, основания равны 4 и 8, угол между боковой стороной и основанием равен 45°. Найти: площадь трапеции. Решение: Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где a, b - основания трапеции, h - высота. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника. Так как трапеция равнобедренная, то эти треугольники равны. Длина отрезка большего основания, заключенного между высотами, равна длине меньшего основания. Таким образом, два других отрезка, на которые большее основание разделено высотами, равны: $$\frac{8-4}{2} = 2$$. В прямоугольном треугольнике угол между гипотенузой (боковой стороной) и катетом (большим основанием) равен 45°. Значит, второй угол равен 45°, и треугольник является равнобедренным. Таким образом, высота трапеции равна 2. $$S = \frac{4+8}{2} \cdot 2 = 12$$. Ответ: 12 4. Дано: ромб, периметр равен 56, один из углов равен 30°. Найти: площадь ромба. Решение: Периметр ромба равен 4a, где a - сторона ромба. Значит, сторона ромба равна $$ \frac{56}{4} = 14$$. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла между сторонами: $$S = a^2 \cdot sin \alpha$$, где a - сторона ромба, $$ \alpha$$ - угол между сторонами. $$S = 14^2 \cdot sin 30° = 196 \cdot \frac{1}{2} = 98$$. Ответ: 98 5. Дано: параллелограмм, периметр равен 32 см, один из углов на 60° больше прямого, одна из сторон равна 6 см. Найти: площадь параллелограмма. Решение: Периметр параллелограмма равен 2(a+b), где a, b - стороны параллелограмма. Значит, $$2(6+b) = 32$$, $$6+b = 16$$, $$b = 10$$ см. Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними: $$S = a \cdot b \cdot sin \alpha$$, где a, b - стороны параллелограмма, $$ \alpha$$ - угол между сторонами. Так как один из углов на 60° больше прямого, то этот угол равен 90° + 60° = 150°. Значит, второй угол равен 30°. $$S = 6 \cdot 10 \cdot sin 30° = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$$ см^2. Ответ: 30