Вариант 2 1. Сторона квадрата равна 7 √2. Найдите площадь этого квадрата. 2. Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его вы- соты. В ответе укажите большую высоту. 3. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции. 4. Периметр ромба равен 48 и большая диагональ равна 18, а один из углов равен 60°. Найдите площадь ромба. 5. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 4см и 7 см. Найти пери- метр и площадь первого треугольника, если пе- риметр и площадь второго 28 см и 98 см2 соот- ветственно.

1. Сторона квадрата равна $$7\sqrt{2}$$. Найдите площадь этого квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

$$S = a^2$$

Подставим значение стороны квадрата в формулу:

$$S = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$$

Ответ: 98

2. Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

$$S = a \cdot h$$

Высота, проведенная к стороне 9:

$$h_1 = \frac{S}{a} = \frac{54}{9} = 6$$

Высота, проведенная к стороне 18:

$$h_2 = \frac{S}{b} = \frac{54}{18} = 3$$

Большая высота равна 6.

Ответ: 6

3. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Высота трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45°, а значит, и другой угол равен 45°, следовательно, это равнобедренный треугольник.

Разница между основаниями равна 5 - 3 = 2. Тогда высота равна половине этой разницы:

$$h = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = 4$$

Ответ: 4

4. Периметр ромба равен 48 и большая диагональ равна 18, а один из углов равен 60°. Найдите площадь ромба.

Сторона ромба равна 48 ∶ 4 = 12. Т.к. большая диагональ ромба равна 18 и один из углов равен 60°, то ромб состоит из двух равносторонних треугольников со стороной 12.

Площадь равностороннего треугольника равна:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$$

Площадь ромба равна удвоенной площади равностороннего треугольника:

$$S_{ромба} = 2 \cdot 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$$

Ответ: $$72\sqrt{3}$$

5. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 4см и 7 см. Найти периметр и площадь первого треугольника, если периметр и площадь второго 28 см и 98 см2 соответственно.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

$$k = \frac{4}{7}$$

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия:

$$\frac{P_1}{P_2} = k$$

Периметр первого треугольника равен:

$$P_1 = k \cdot P_2 = \frac{4}{7} \cdot 28 = 16$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

Площадь первого треугольника равна:

$$S_1 = k^2 \cdot S_2 = \left(\frac{4}{7}\right)^2 \cdot 98 = \frac{16}{49} \cdot 98 = 32$$

Ответ: P = 16, S = 32