Вариант 1 1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, боковое ребро — 7 см. Найдите площадь боковой поверхности. 2. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Апофема пирамиды равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности. 3. В правильной четырёхугольной пирамидеторона основания равна 8 см, апофема — 5 см. Найдите объём пирамиды. 4. Найдите объём прямой призмы, в основани которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 6 см. Высота призмы равна 4 см.

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы

• Сторона основания a = 4 см
• Боковое ребро (высота) h = 7 см

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту.

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\]

\[P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \; см\]

\[S_{бок} = 12 \cdot 7 = 84 \; см^2\]

2. Площадь полной поверхности пирамиды

• В основании квадрат со стороной a = 6 см
• Апофема пирамиды l = 5 см

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\]

\[S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \; см^2\]

Боковая поверхность состоит из 4 одинаковых треугольников. Площадь одного треугольника равна половине произведения стороны основания на апофему.

\[S_{треуг} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \; см^2\]

\[S_{бок} = 4 S_{треуг} = 4 \cdot 15 = 60 \; см^2\]

\[S_{полн} = 36 + 60 = 96 \; см^2\]

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

• Сторона основания a = 8 см
• Апофема l = 5 см

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

\[V = \frac{1}{3} S_{осн} h\]

\[S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \; см^2\]

Высоту найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и половиной стороны основания.

\[h = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \; см\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \; см^3\]

4. Объем прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании

• Катеты a = 5 см и b = 6 см
• Высота призмы h = 4 см

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

\[V = S_{осн} h\]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

\[S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15 \; см^2\]

\[V = 15 \cdot 4 = 60 \; см^3\]