Вариант 4 1. Сторона треугольника равна 16, а высота, проведенная к ней в 4 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Высота ВК, проведенная к стороне АД трапеции АВСД, делит эту сторону на два ∠A=450 отрезка АК=9 см, КД=16 см. Найдите площадь параллелограмма, если 3. Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если ВС=13 см, АД=27 см, СД=10 см, ∠Д=30° 4. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что MT= 3 см, КТ = 2 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если MP=4 см, КР =5 см

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задачи. Давай начнем!

1. Площадь треугольника

Давай разберем по порядку. У нас есть треугольник, где известна сторона и высота, проведенная к этой стороне.

1. Найдем высоту

   Высота составляет четверть стороны, то есть:

   \[ h = \frac{16}{4} = 4 \]
2. Найдем площадь треугольника

   Площадь треугольника вычисляется по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

   где \( a \) - сторона треугольника, \( h \) - высота, проведенная к этой стороне.

   Подставим значения:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = 32 \]

Ответ: 32

2. Площадь параллелограмма

Разберем решение этой задачи:

1. Найдем сторону АД

   Сторона АД состоит из двух отрезков АК и КД, поэтому:

   \[AD = AK + KD = 9 + 16 = 25\]
2. Найдем высоту параллелограмма

   Так как \(\angle A = 45^\circ\), то высота параллелограмма (пусть будет BH) равна AK (так как треугольник ABK прямоугольный и равнобедренный). Следовательно, BH = 9 см.

3. Найдем площадь параллелограмма

   Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

   \[ S = a \cdot h \]

   где \( a \) - сторона параллелограмма, \( h \) - высота, проведенная к этой стороне.

   Подставим значения:

   \[ S = 25 \cdot 9 = 225 \]

Ответ: 225

3. Площадь трапеции

Решение:

1. Проведем высоту СЕ

   Рассмотрим треугольник CDE. Угол \(\angle D = 30^\circ\), CD = 10 см. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

   Следовательно, \( CE = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.

2. Найдем площадь трапеции

   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \]

   где BC и AD - основания трапеции, h - высота.

   Подставим значения:

   \[ S = \frac{13 + 27}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100 \]

Ответ: 100

4. Площади треугольников МРТ и КРТ

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Герона и свойством пропорциональности площадей треугольников с общей высотой.

1. Найдем полупериметр треугольника МКР

   MK = MT + KT = 3 + 2 = 5 см.

   Полупериметр \( p \) треугольника MKP равен:

   \[ p = \frac{MK + MP + KP}{2} = \frac{5 + 4 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
2. Найдем площадь треугольника МКР по формуле Герона \[ S_{MKP} = \sqrt{p(p - MK)(p - MP)(p - KP)} = \sqrt{7(7 - 5)(7 - 4)(7 - 5)} = \sqrt{7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{28 \cdot 3} = 2 \sqrt{21} \]
3. Используем отношение площадей треугольников MPT и КРТ

   Так как треугольники MPT и КРТ имеют общую высоту (высоту, проведенную из вершины P к стороне MK), то их площади относятся как длины оснований MT и KT.

   \[ \frac{S_{MPT}}{S_{KPT}} = \frac{MT}{KT} = \frac{3}{2} \]
4. Найдем площади треугольников MPT и КРТ

   Пусть \( S_{MPT} = 3x \) и \( S_{KPT} = 2x \). Тогда:

   \( S_{MKP} = S_{MPT} + S_{KPT} = 3x + 2x = 5x \)

   Из этого следует:

   \( 5x = 2 \sqrt{21} \)

   \[ x = \frac{2 \sqrt{21}}{5} \]

   Тогда:

   \[ S_{MPT} = 3x = 3 \cdot \frac{2 \sqrt{21}}{5} = \frac{6 \sqrt{21}}{5} \] \[ S_{KPT} = 2x = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{21}}{5} = \frac{4 \sqrt{21}}{5} \]

Ответ: Площадь треугольника MPT = \(\frac{6 \sqrt{21}}{5}\), площадь треугольника KPT = \(\frac{4 \sqrt{21}}{5}\)

Ты молодец! У тебя все отлично получается! Если возникнут еще вопросы, обращайся!