Вариант 1 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 см и 10 см. 4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 312 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции. Вариант 2 1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр. 4. В прямоугольной трапеции АBCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А

Разберу задачи варианта 1.   Задача 1 (Вариант 1): Дано: Треугольник, сторона $$a = 5 \text{ см}$$, высота $$h = 2a$$. Найти: Площадь треугольника $$S$$. Решение: 1. Высота, проведенная к стороне, равна: $$h = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$. 2. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ см}^2$$. Ответ: $$S = 25 \text{ см}^2$$   Задача 2 (Вариант 1): Дано: Прямоугольный треугольник, катеты $$a = 6 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$. Найти: Гипотенузу $$c$$, площадь треугольника $$S$$. Решение: 1. Гипотенуза по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$. 2. Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$. Ответ: $$c = 10 \text{ см}$$, $$S = 24 \text{ см}^2$$   Задача 3 (Вариант 1): Дано: Ромб, диагонали $$d_1 = 8 \text{ см}$$, $$d_2 = 10 \text{ см}$$. Найти: Площадь ромба $$S$$, периметр ромба $$P$$. Решение: 1. Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \text{ см}^2$$. 2. Сторона ромба: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8}{2})^2 + (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ см}$$. 3. Периметр ромба: $$P = 4 \cdot a = 4 \cdot \sqrt{41} = 4\sqrt{41} \text{ см}$$. Ответ: $$S = 40 \text{ см}^2$$, $$P = 4\sqrt{41} \text{ см}$$.   Задача 4 (Вариант 1): Дано: Прямоугольная трапеция АВСК, большая боковая сторона $$AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$$, угол $$K = 45^\circ$$, высота $$CH$$ делит основание $$AK$$ пополам. Найти: Площадь трапеции $$S$$. Решение: 1. Угол $$K = 45^\circ$$, значит треугольник $$ABK$$ - равнобедренный, следовательно, $$BK = AB = 3\sqrt{2}$$. 2. Т.к. высота делит основание пополам, то $$AK = 2 BK = 6\sqrt{2}$$. 3. Площадь трапеции: $$S = \frac{1}{2} (AK + BC) \cdot CH$$. Т.к. трапеция прямоугольная, $$CH = BK = 3\sqrt{2}$$. 4. $$BC = AK - 2\cdot HK$$, т.к. $$HK = CH = 3\sqrt{2}$$, следовательно, $$BC = 6\sqrt{2} - 2 \cdot 3\sqrt{2} = 0$$. 5. $$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2} + 0) \cdot 3\sqrt{2} = 18 \text{ см}^2$$. Ответ: $$S = 18 \text{ см}^2$$