Вариант 2 1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его пло- щадь и периметр. 4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторо- на равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

1.

Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше стороны. Найдем высоту треугольника:

$$h = \frac{12}{3} = 4 \text{ см}$$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ: 24 см².

2.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдем второй катет по теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$$

Ответ: 5 см, 30 см².

3.

Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$

Сторона ромба может быть найдена как:

$$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \text{ см}$$

Периметр ромба равен:

$$P = 4 \cdot a = 4 \cdot \sqrt{61} \approx 4 \cdot 7.81 = 31.24 \text{ см}$$

Ответ: 60 см², $$4\sqrt{61}$$ см.

4.

В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота BH делит основание AD пополам. Найдем площадь трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол A = 60°, значит угол ABH = 30°. Тогда AH = 1/2 * AB = 1/2 * 8 = 4 см (как катет, лежащий против угла в 30°).

Найдем BH по теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

Т.к. BH делит AD пополам, то AD = 2 * AH = 2 * 4 = 8 см.

Проведем высоту CK. Тогда AK = BH = 4$$\sqrt{3}$$ см. KD = AD - AK = 8 - 4$$\sqrt{3}$$ см.

BC = KD = 8 - 4$$\sqrt{3}$$ см.

Площадь трапеции:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{8 - 4\sqrt{3} + 8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (16 - 4\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3} - 24 \text{ см}^2$$

Ответ: $$32\sqrt{3} - 24 \text{ см}^2$$