Вариант 1 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 и 6 см. 4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 3√2см, угол D равен 45°, а высота СН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции. 5. Длины оснований равнобедренной трапеции равны 12 см и 28 см, а длина боковой стороны равна 10 см. Вычислите площадь трапеции.

1. Сторона треугольника равна 5 см, высота в 2 раза больше стороны, т.е. 10 см. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

$$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ см}^2$$

2. Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8 см. По теореме Пифагора, гипотенуза равна

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

3. Диагонали ромба равны 8 и 6 см. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$$

4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна $$3\sqrt{2}$$ см, угол D равен 45°, высота CH делит основание AD пополам. Опустим высоту CK на сторону AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. Угол D равен 45°, значит, треугольник равнобедренный и CK=KD = $$3\sqrt{2} \cdot sin(45) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$$ см. Значит высота трапеции равна 3. Так как CH делит основание AD пополам, то AD = 2CD, CD = BC. Тогда AD = BC. Пусть BC = x, AD = x + KD + KD = x + 3 + 3 = x + 6. AD = x+6

S = $$ \frac{BC+AD}{2} \cdot h$$

5. Длины оснований равнобедренной трапеции равны 12 см и 28 см, боковая сторона равна 10 см. Высота трапеции

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин верхнего основания на нижнее, отсекают равные отрезки. Нижнее основание больше верхнего на 28-12 = 16 см. Тогда каждый из отрезков равен 16/2 = 8 см. Боковая сторона равна 10 см. По теореме Пифагора, высота равна

$$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12+28}{2} \cdot 6 = \frac{40}{2} \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120 \text{ см}^2$$

Ответ:

1. 25 см^2

2. 10 см, 24 см^2

3. 24 см^2

4.

5. 120 см^2