Вариант 22. 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 30, боковые рёбра равны 39. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. 2. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10 и высота равна 12. 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, Ѕ вершина, SO = 80, AC = 36. Найдите боковое ребро SA. 4. В правильной треугольной пирамиде SABC S вершина, R – середина ребра BC, AB= 8, а площадь боковой поверхности равна 252. Найдите - длину отрезка SR. 5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О центр основания, S вершина, SB = 40, BD = 48. Найдите длину отрезка SO.

Решение задачи №1:

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей шести боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

• Сторона основания: a = 30
• Боковое ребро: b = 39

Для нахождения площади одной боковой грани нам нужно знать высоту треугольника (апофему пирамиды). Обозначим её за h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 36 = 540\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 540 = 3240\]

Ответ: 3240

Решение задачи №2:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

• Сторона основания: a = 10
• Высота пирамиды: H = 12

Площадь основания:

\[S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100\]

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужно знать апофему пирамиды (h). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 65\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 65 = 260\]

Площадь поверхности пирамиды:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 260 = 360\]

Ответ: 360

Решение задачи №3:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S - вершина, SO = 80, AC = 36. Найдём боковое ребро SA.

• Высота пирамиды: SO = 80
• Диагональ основания: AC = 36

Так как O - центр основания, то AO = AC / 2:

\[AO = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:

\[SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{80^2 + 18^2} = \sqrt{6400 + 324} = \sqrt{6724} = 82\]

Ответ: 82

Решение задачи №4:

В правильной треугольной пирамиде SABC, S вершина, R - середина ребра BC, AB = 8, площадь боковой поверхности равна 252. Найдем длину отрезка SR.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:

\[S_{бок} = 3 \cdot S_{грани}\]

где Sграни - площадь одной боковой грани.

Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны, и каждая из них - равнобедренный треугольник. Площадь одной грани:

\[S_{грани} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{252}{3} = 84\]

Обозначим сторону основания за a. В данном случае, a = AB = 8.

Площадь боковой грани можно также выразить через полупериметр основания (p) и апофему (SR):

\[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SR\]

Выразим SR:

\[SR = \frac{2 \cdot S_{грани}}{a} = \frac{2 \cdot 84}{8} = \frac{168}{8} = 21\]

Ответ: 21

Решение задачи №5:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SB = 40, BD = 48. Найдем длину отрезка SO.

• Боковое ребро: SB = 40
• Диагональ основания: BD = 48

Так как O - центр основания, то BO = BD / 2:

\[BO = \frac{BD}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник SОВ. По теореме Пифагора:

\[SO = \sqrt{SB^2 - BO^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32\]

Ответ: 32