Вариант 1 1. Точка А находится на расстоянии 5 см от плоскости а. Из точки А проведена наклонная АВ длиной 13 см. Найдите длину проекции наклонной АВ на плоскость а. 2. Из точки М к плоскости проведены перпендикуляр МО и наклонная МА. Найдите длину МА, если МО = 8 см, а проекция наклонной ОА = 6 см. 3. Дано: АВ 1 а, ВС лежит в плоскости а, АС = 17 см, ВС = 15 см. Найдите АВ. 4. Из точки К к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных на плоскость равна 9 см. Найдите длину каждой проекции. 5. Точка 5 находится на расстоянии 6 см от каждой вершины квадрата ABCD со стороной 8 см. Найдите расстояние от точки S до плоскости квадрата. 6. Через вершину А квадрата АBCD проведена прямая АК, перпендикулярная плоскости квадрата. Известно, что АК = 6 см, АВ = 4 см. Найдите расстояние от точки К до прямой BD. 7. Прямая МА перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что МА = а, АВ = b, BC = с. Найдите расстояние от точки М до прямой CD.

1.

Пусть проекция наклонной АВ на плоскость α равна x см.

По теореме Пифагора:

\[x^2 + 5^2 = 13^2\] \[x^2 + 25 = 169\] \[x^2 = 144\] \[x = \sqrt{144} = 12\]

Длина проекции наклонной АВ на плоскость α равна 12 см.

2.

По теореме Пифагора:

\[MA^2 = MO^2 + OA^2\] \[MA^2 = 8^2 + 6^2\] \[MA^2 = 64 + 36\] \[MA^2 = 100\] \[MA = \sqrt{100} = 10\]

Длина МА равна 10 см.

3.

Так как АВ ⊥ α, то треугольник АВС - прямоугольный, где АС - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[17^2 = AB^2 + 15^2\] \[289 = AB^2 + 225\] \[AB^2 = 64\] \[AB = \sqrt{64} = 8\]

Длина АВ равна 8 см.

4.

Пусть длины проекций равны x см и y см, где x < y.

Тогда:

y - x = 9

Из теоремы Пифагора для каждой наклонной:

\[x^2 + h^2 = 10^2\] \[y^2 + h^2 = 17^2\]

Выразим h² из первого уравнения и подставим во второе:

\[h^2 = 100 - x^2\] \[y^2 + 100 - x^2 = 289\] \[y^2 - x^2 = 189\]

Используем формулу разности квадратов: (y - x)(y + x) = 189

Подставим y - x = 9:

\[9(y + x) = 189\] \[y + x = 21\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} y - x = 9 \\ y + x = 21 \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[2y = 30\] \[y = 15\]

Тогда x = 21 - y = 21 - 15 = 6

Длины проекций равны 6 см и 15 см.

5.

Пусть О - центр квадрата ABCD. Тогда SO - перпендикуляр к плоскости квадрата. Так как точка S находится на одинаковом расстоянии от всех вершин квадрата, проекция точки S (точка О) будет центром квадрата ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOS, где AS - расстояние от S до вершины квадрата, AO - половина диагонали квадрата, SO - расстояние от S до плоскости квадрата.

Найдем AO:

Диагональ квадрата равна \(8\sqrt{2}\) см, тогда \(AO = 4\sqrt{2}\) см.

Найдем AS (расстояние от S до вершины квадрата):

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой от точки S до квадрата (6 см), половиной стороны квадрата (4 см) и расстоянием от точки S до вершины квадрата, которое является гипотенузой этого треугольника.

\[AS = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\] \[AS = 2\sqrt{13}\]

По теореме Пифагора для треугольника AOS:

\[SO^2 + AO^2 = AS^2\] \[SO^2 = AS^2 - AO^2\] \[SO^2 = (2\sqrt{13})^2 - (4\sqrt{2})^2\] \[SO^2 = 52 - 32 = 20\] \[SO = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Расстояние от точки S до плоскости квадрата равно \[2\sqrt{5}\) см.

6.

Пусть АК перпендикулярна плоскости квадрата ABCD.

Найдём BD:

BD = \( \sqrt{AB^2 + AD^2} \) = \( \sqrt{4^2 + 4^2} \) = \(4\sqrt{2}\) см (т.к. ABCD - квадрат).

Расстояние от точки К до прямой BD равно длине отрезка КМ, где КМ - перпендикуляр к BD.

Расстояние от точки А до прямой BD равно половине диагонали квадрата, то есть \(2\sqrt{2}\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АКМ, где АК = 6 см (дано), АМ = \(2\sqrt{2}\) см.

По теореме Пифагора:

KM = \( \sqrt{AK^2 + AM^2} \) = \( \sqrt{6^2 + (2\sqrt{2})^2} \) = \( \sqrt{36 + 8} \) = \( \sqrt{44} \) = \(2\sqrt{11}\) см.

Расстояние от точки К до прямой BD равно \[2\sqrt{11}\) см.

7.

Пусть МА перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, MA = a, AB = b, BC = c.

Расстояние от точки М до прямой CD - это длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD, где AD = BC = c, MA = a.

Тогда MD = \( \sqrt{MA^2 + AD^2} \) = \( \sqrt{a^2 + c^2} \).

Так как MD - перпендикуляр к CD, то расстояние от точки M до прямой CD равно \[\sqrt{a^2 + c^2}\).