Вариант №1 1. Точки М и Р лежат соответственно на сторонах ВС и АВ треугольника АВС, причем МР II АС. Найти сторону АВ, если АС=12см, МР=4см, РВ=5см? 2. Хорды AD и СР пересекаются в точке Е так, что АЕ=3см, DE=6см, СЕ=8см. Найти СР? 3.Из точки А вне окружности провели две секущих АС и АК, которые пересекают окружность в соответствующих точках ВиС, МиК так, что АВ=3см, АМ=4см, МК=5см. Найти секущую АС? 4.Из точки А провели секущую АР и касательную АВ. Секущая пересекает окружность в точках Ки Р так, что АВ=5см, КР больше АК на 5 см. Найти АК и АР? 5.Из точки вне окружности проведена секущая, внутренняя и внешняя части которой относятся как 8: 1. Найти длину всей секущей, если касательная, проведенная из той же точки к окружности , равна 12 см. Вариант №2 1. Точки К и Н лежат соответственно на сторонах АС и СВ треугольника АВС, причем КН II АВ. Найти сторону АС, если КС=12см, КН=6см, АВ=8см? 2. Хорды KD и ВР пересекаются в точке А так, что АК=7см, DA=4см, АВ=14см. Найти ВР? 3.Из точке А вне окружности провели две секущих АС и АК, которые пересекают окружность соответствующих точках В и С, М и К так, что АВ=4см, АС=6см, АК=12см. Найти отрезок АМ? 4. Из точки А провели секущую АР и касательную АВ. Секущая пересекает окружность в точках

Ответ: Вариант №1, задача 1: АВ = 15 см; задача 2: СР = 12 см; задача 3: АС = 7,5 см; задача 4: АК = 5 см, АР = 15 см; задача 5: 14,4 см. Вариант №2, задача 1: АС = 28 см; задача 2: ВР = 24,5 см; задача 3: АМ = 3 см.

Вариант №1

Задача 1

Треугольники ABC и PBM подобны, так как MP || AC. Значит, соответствующие стороны пропорциональны:

• MP / AC = PB / AB
• 4 / 12 = 5 / AB
• AB = (5 * 12) / 4 = 15 см

Ответ: АВ = 15 см

Задача 2

По свойству пересекающихся хорд:

• AE * DE = CE * EP
• 3 * 6 = 8 * EP
• EP = (3 * 6) / 8 = 2.25 см

Тогда СР = СЕ + ЕР = 8 + 2.25 = 10.25 см

Ответ: СР = 10.25 см

Задача 3

По свойству секущих, проведенных из одной точки вне окружности:

• AB * AC = AM * AK
• AB = 3 см, AM = 4 см, MK = 5 см, AK = AM + MK = 4 + 5 = 9 см
• 3 * AC = 4 * 9
• AC = (4 * 9) / 3 = 12 см

Ответ: АС = 12 см

Задача 4

По теореме о касательной и секущей:

• AB^2 = AK * AP
• Пусть АК = x, тогда КР = x + 5, AP = AK + KP = x + x + 5 = 2x + 5
• 5^2 = x * (2x + 5)
• 25 = 2x^2 + 5x
• 2x^2 + 5x - 25 = 0

Решаем квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5\]

Берем положительное значение, так как длина не может быть отрицательной. Итак, АК = 2.5 см, тогда АР = 2 * 2.5 + 5 = 10 см

Ответ: АК = 2.5 см, АР = 10 см

Задача 5

Пусть внутренняя часть секущей равна 8x, а внешняя часть равна x. Тогда вся секущая равна 9x.

По теореме о касательной и секущей:

• 12^2 = x * 9x
• 144 = 9x^2
• x^2 = 16
• x = 4

Длина всей секущей равна 9x = 9 * 4 = 36 см

Ответ: 36 см

Вариант №2

Задача 1

Треугольники ABC и KHC подобны, так как KH || AB. Значит, соответствующие стороны пропорциональны:

• KH / AB = KC / AC
• 6 / 8 = 12 / AC
• AC = (12 * 8) / 6 = 16 см

Ответ: АС = 16 см

Задача 2

По свойству пересекающихся хорд:

• AK * DA = AB * BP
• 7 * 4 = 14 * BP
• BP = (7 * 4) / 14 = 2 см

Ответ: ВР = 2 см

Задача 3

По свойству секущих, проведенных из одной точки вне окружности:

• AB * AC = AM * AK
• 4 * 6 = AM * 12
• AM = (4 * 6) / 12 = 2 см

Ответ: АМ = 2 см

Ответ: Вариант №1, задача 1: АВ = 15 см; задача 2: СР = 10.25 см; задача 3: АС = 12 см; задача 4: АК = 2.5 см, АР = 10 см; задача 5: 36 см. Вариант №2, задача 1: АС = 16 см; задача 2: ВР = 2 см; задача 3: АМ = 2 см.