Вариант 2 1. У прямоугольного треугольника катеты равны 8 мм и 15 мм. Найдите его гипотенузу. 2. В прямоугольнике одна сторона равна 6 м, а диагональ равна 10 м. Найдите площадь прямоугольника. 3. Найдите диагональ ромба, если его сторона равна 13 м, а другая диагональ равна 24 м. 4. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 54, боковая сторона 25 (см. рис. 104). Найдите высоту ћ и площадь 5 трапеции.

Давай решим эти задачи по геометрии по порядку!

Задача 1: Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 мм и 15 мм. Нужно найти гипотенузу. Воспользуемся теоремой Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где a и b – катеты, c – гипотенуза.

Решение:

• Подставим значения катетов: \[8^2 + 15^2 = c^2\]
• Вычислим: \[64 + 225 = c^2\]
• Следовательно: \[c^2 = 289\]
• Извлечем квадратный корень: \[c = \sqrt{289} = 17\]

Гипотенуза равна 17 мм.

Задача 2: Площадь прямоугольника

В прямоугольнике одна сторона равна 6 м, а диагональ равна 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Сначала найдем вторую сторону прямоугольника, используя теорему Пифагора.

Решение:

• Пусть a = 6 м, d = 10 м (диагональ). Тогда \[a^2 + b^2 = d^2\]
• Подставим значения: \[6^2 + b^2 = 10^2\]
• Вычислим: \[36 + b^2 = 100\]
• Следовательно: \[b^2 = 100 - 36 = 64\]
• Извлечем квадратный корень: \[b = \sqrt{64} = 8\]

Теперь, когда мы знаем обе стороны прямоугольника (6 м и 8 м), можно найти его площадь: \[S = a \cdot b\].

• Подставим значения: \[S = 6 \cdot 8 = 48\]

Площадь прямоугольника равна 48 м².

Задача 3: Диагональ ромба

Сторона ромба равна 13 м, а одна из диагоналей равна 24 м. Нужно найти другую диагональ. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Обозначим половину известной диагонали как d1/2 = 12 м.

Решение:

• Пусть сторона ромба a = 13 м, половина первой диагонали d1/2 = 12 м. Тогда, используя теорему Пифагора для половины ромба: \[ (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = a^2 \]
• Подставим значения: \[ 12^2 + (d2/2)^2 = 13^2 \]
• Вычислим: \[ 144 + (d2/2)^2 = 169 \]
• Следовательно: \[ (d2/2)^2 = 169 - 144 = 25 \]
• Извлечем квадратный корень: \[ d2/2 = \sqrt{25} = 5 \]
• Найдем полную длину второй диагонали: \[ d2 = 2 \cdot 5 = 10 \]

Другая диагональ ромба равна 10 м.

Задача 4: Высота и площадь трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 6 см и 54 см, боковая сторона равна 25 см. Нужно найти высоту и площадь трапеции.

Решение:

• Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Так как трапеция равнобедренная, высота делит нижнее основание на отрезки длиной: \[ (54 - 6) / 2 = 48 / 2 = 24 \]
• Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 24 см (половина разности оснований). Используем теорему Пифагора для нахождения высоты h: \[ h^2 + 24^2 = 25^2 \]
• Вычислим: \[ h^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49 \]
• Извлечем квадратный корень: \[ h = \sqrt{49} = 7 \]

Высота трапеции равна 7 см.

Теперь найдем площадь трапеции, используя формулу: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \], где a и b – основания, h – высота.

• Подставим значения: \[ S = \frac{6 + 54}{2} \cdot 7 \]
• Вычислим: \[ S = \frac{60}{2} \cdot 7 = 30 \cdot 7 = 210 \]

Площадь трапеции равна 210 см².

Ответ: 1) 17 мм, 2) 48 м², 3) 10 м, 4) высота = 7 см, площадь = 210 см²

Ты молодец! У тебя всё получится!