Вариант 2 1. У прямоугольного треугольника катеты равны 8 мм и 15 мм. Найдите его гипотенузу. 2. В прямоугольнике одна сторона равна 6 м, а диагональ равна 10 м. Найдите площадь прямоугольника. 3. Найдите диагональ ромба, если его сторона равна 13 м, а другая диагональ равна 24 м. 4. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 54, боковая сторона 25 (см. рис. 104). Найдите высоту ћ и площадь S трапеции.

Решение:

1. 1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $$c^2 = a^2 + b^2$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ и $$b$$ - катеты.

   В нашем случае $$a = 8$$ мм, $$b = 15$$ мм, тогда $$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$.

   Следовательно, $$c = \sqrt{289} = 17$$ мм.

   2. Найдем площадь прямоугольника, зная одну сторону и диагональ. Сначала найдем вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + b^2$$, где $$d$$ - диагональ, $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника.

   В нашем случае $$d = 10$$ м, $$a = 6$$ м, тогда $$10^2 = 6^2 + b^2$$, $$100 = 36 + b^2$$, $$b^2 = 100 - 36 = 64$$.

   Следовательно, $$b = \sqrt{64} = 8$$ м.

   Площадь прямоугольника $$S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48$$ м$$^2$$.

   3. Найдем вторую диагональ ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба, тогда $$d_1 = 24$$ м, а половина $$d_2$$ равна $$x$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора: $$a^2 = (d_1/2)^2 + x^2$$, где $$a$$ - сторона ромба.

   В нашем случае $$a = 13$$ м, $$d_1 = 24$$ м, тогда $$13^2 = (24/2)^2 + x^2$$, $$169 = 12^2 + x^2$$, $$169 = 144 + x^2$$, $$x^2 = 169 - 144 = 25$$.

   Следовательно, $$x = \sqrt{25} = 5$$ м, тогда $$d_2 = 2x = 2 \cdot 5 = 10$$ м.

   4. Найдем высоту и площадь равнобедренной трапеции. Основания трапеции: $$a = 6$$ см, $$b = 54$$ см, боковая сторона $$c = 25$$ см. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим отрезок большего основания, от вершины до высоты, за $$x$$. Тогда $$x = (b - a) / 2 = (54 - 6) / 2 = 48 / 2 = 24$$ см.

   Найдем высоту $$h$$ по теореме Пифагора: $$c^2 = h^2 + x^2$$, где $$c$$ - боковая сторона трапеции.

   В нашем случае $$c = 25$$ см, $$x = 24$$ см, тогда $$25^2 = h^2 + 24^2$$, $$625 = h^2 + 576$$, $$h^2 = 625 - 576 = 49$$.

   Следовательно, $$h = \sqrt{49} = 7$$ см.

   Площадь трапеции $$S = ((a + b) / 2) \cdot h = ((6 + 54) / 2) \cdot 7 = (60 / 2) \cdot 7 = 30 \cdot 7 = 210$$ см$$^2$$.

Ответ:

1. 17 мм
2. 48 м$$^2$$
3. 10 м
4. 7 см, 210 см$$^2$$