Вариант 2 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54? Рис. 53 Рис. 54 36 B M K N D 73 107 D 60% A F 4. Докажите, что ∠A =∠C (рис. 55), если известно, что АВ|| CD и ВС|| AD. 5. В треугольнике MNF известно, что ZN = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет ММ, если FD = 20 см. B Рис. 55 A D

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Пусть угол при основании равен 38°. Тогда два угла при основании в сумме составляют 38° + 38° = 76°.

Угол при вершине равен 180° - 76° = 104°.

Ответ: 104°

2. Градусная мера угла CFN (рис. 53)

Сумма смежных углов равна 180°. Угол, смежный с углом 107°, равен 180° - 107° = 73°.

Угол CFN равен углу 73° как соответственные углы при параллельных прямых.

Ответ: 73°

3. Градусная мера угла F (рис. 54)

В треугольнике ADF угол A равен 60°, а угол D равен 36° + 24° = 60°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол F равен 180° - (60° + 60°) = 60°.

Ответ: 60°

4. Доказать, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что AB || CD и BC || AD.

Если AB || CD и BC || AD, то ABCD — параллелограмм. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть ∠A = ∠C.

Ответ: Доказано, что ∠A = ∠C

5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD — биссектриса треугольника. Найдите катет ММ, если FD = 20 см.

В прямоугольном треугольнике MNF угол N равен 90°, угол M равен 30°. Следовательно, угол F равен 180° - (90° + 30°) = 60°.

Так как FD — биссектриса угла F, то угол NFD равен углу MFD и равен 60° / 2 = 30°.

В треугольнике NFD угол N равен 90°, угол NFD равен 30°. Следовательно, угол FDN равен 180° - (90° + 30°) = 60°.

Сторона NF лежит против угла 60° в треугольнике NFD, поэтому NF = FD * sin(60°) = 20 * √3/2 = 10√3 см.

В треугольнике MNF сторона MN лежит против угла 30°, поэтому MN = 1/2 * MF.

Так как NF = MN * √3, то MN = NF / √3 = (10√3) / √3 = 10 см.

Ответ: 10 см