Вариант 3 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла BDT (рис. 56). 3. Какова градусная мера угла В, изображённого на рисунке 57? 4. Докажите, что АО = СО (рис. 58), если известно, что АВ = CD и АВ || CD. A Рис. 57 B Рис. 56 F 110/T 110° 100° N B Рис. 58 D D E B C 16° 35° 25 C A D 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, LD = 30°, отрезок ВТ треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см. биссектриса

1. Угол при основании равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при вершине равен \(104^\circ\), а углы при основании равны \(x\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Тогда:

\[ x + x + 104^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ - 104^\circ \] \[ 2x = 76^\circ \] \[ x = \frac{76^\circ}{2} \] \[ x = 38^\circ \]

Таким образом, углы при основании равны \(38^\circ\).

2. Градусная мера угла BDT (рис. 56).

Угол \(FBN\) смежный с углом \(100^\circ\), значит, он равен:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Угол \(TND\) смежный с углом \(110^\circ\), значит, он равен:

\[ 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]

Рассмотрим треугольник \(BND\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Тогда угол \(BDT\) равен:

\[ 180^\circ - (80^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]

Таким образом, градусная мера угла \(BDT\) равна \(30^\circ\).

3. Градусная мера угла B (рис. 57).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Рассмотрим треугольник \(AEC\). Угол \(AEC\) является внешним углом для треугольника \(DEB\), поэтому он равен сумме углов \(EDB\) и \(EBD\).

Сначала найдем угол \(C\) треугольника \(AEC\):

\[ \angle C = 25^\circ + 35^\circ = 60^\circ \]

Найдем угол \(EAC\):

\[ \angle EAC = 16^\circ \]

Тогда угол \(AEC\) равен:

\[ \angle AEC = 180^\circ - (16^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ \]

Теперь найдем угол \(DEB\):

\[ \angle DEB = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \]

И наконец, найдем угол \(DBE\):

\[ \angle DBE = \angle AEC - \angle EDB = 104^\circ - 35^\circ = 69^\circ \]

Таким образом, градусная мера угла \(B\) равна \(69^\circ\).

4. Доказать, что AO = CO (рис. 58), если известно, что AB = CD и AB || CD.

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Так как \(AB = CD\) и \(AB || CD\), то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть \(AO = CO\).

5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок BT — биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см.

В прямоугольном треугольнике \(DAB\) угол \(A = 90^\circ\) и угол \(D = 30^\circ\). Тогда угол \(B = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ\). Так как \(BT\) — биссектриса угла \(B\), то угол \(DBT = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Рассмотрим треугольник \(DTB\). Углы при основании равны, значит, \(DTB\) — равнобедренный, и \(DT = TB = 8\) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(DAB\). Катет \(DA\) лежит против угла \(B\). Мы знаем, что напротив угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Тогда:

\[ AB = \frac{1}{2} DB \]

Из прямоугольного треугольника \(ABT\) имеем:

\[ AT = TB \cdot \tan(\frac{\angle B}{2}) \] \[ DA = DB \cdot \cos(30^\circ) \]

Так как \(\angle DBT = 30^\circ\) и \(\angle D = 30^\circ\), то \(DT = BT = 8\) см.

Рассмотрим треугольник \(ABT\): \(\angle ABT = 30^\circ\), тогда \(\angle ATB = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle BTA = 120^\circ\), а значит, \(\angle DTB = 60^\circ\).

В треугольнике \(DTB\): \(DT = TB = 8\), следовательно, \(DB = 2DT = 16\).

Находим \(DA\):

\[ DA = DB \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см} \]