Вариант 1 1. Упростите выражение и найдите его значение (\frac{a+3b}{a^{2}-3ab} - \frac{1}{a}) : \frac{b}{3b-a} при а = 7,5, b = √3-5 2. Сократите дробь (3x)²x⁻⁴/x⁻¹²4x⁶ 3. Вычислите значение выражения log₃ log₂2³-1 4. Решите уравнение √x² - x - 1 = 1 5. Найдите область определения функции у = √3⁴ˣ⁻⁵-81 2 8T-167 6. Вычислите значение выражения 4⁷ a²-b² a³-b³ 7. Упростите выражение a-b a²-b² 8. Решите уравнение 5ˣ⁺².√5 = \frac{1}{25} 9. Решите неравенство log₃ (x+1) > -2 10. Найти cos α, если sinα = 0,8 и \frac{π}{2}< α < π 11. Решите уравнение √x + 3 =x+3 12. Верно ли равенство (5⁰)³. 4-27⁻¹/₃ + 3⁻⁶. 81.9⁰ + (\frac{1}{4})⁻¹/₂ = 6? log₇ 28-\frac{1}{2}log₇ 64 13. Упростите выражение log₅ 30-3log₅ √6 14. Решите неравенство log₂(2x + 5) <4 15. Решите неравенство 0,3⁵ˣ⁻¹ - 0,3⁵ˣ ≥ 0,7 16. Решите уравнение (4ˣ - 9. 2ˣ + 8) √x - 2 = 0

1. Упростите выражение и найдите его значение (\frac{a+3b}{a^{2}-3ab} - \frac{1}{a}) : \frac{b}{3b-a} при a = 7,5, b = √3-5

Преобразуем выражение:

$$\frac{a+3b}{a^{2}-3ab} - \frac{1}{a} = \frac{a+3b}{a(a-3b)} - \frac{1}{a} = \frac{a+3b - (a-3b)}{a(a-3b)} = \frac{a+3b - a + 3b}{a(a-3b)} = \frac{6b}{a(a-3b)}$$

$$\frac{6b}{a(a-3b)} : \frac{b}{3b-a} = \frac{6b}{a(a-3b)} \cdot \frac{3b-a}{b} = \frac{6b \cdot (3b-a)}{a(a-3b) \cdot b} = \frac{-6b(a-3b)}{a(a-3b)b} = -\frac{6}{a}$$

Подставим значения a = 7,5:

$$- \frac{6}{7,5} = - \frac{6}{\frac{15}{2}} = - \frac{6 \cdot 2}{15} = - \frac{12}{15} = - \frac{4}{5} = -0,8$$

Ответ: -0,8

2. Сократите дробь (3x)²x⁻⁴/x⁻¹²4x⁶

Преобразуем выражение:

$$\frac{(3x)^2 x^{-4}}{x^{-12} 4x^6} = \frac{9x^2 x^{-4}}{4x^{-12} x^6} = \frac{9x^{-2}}{4x^{-6}} = \frac{9}{4} x^{-2 - (-6)} = \frac{9}{4} x^4 = 2,25x^4$$

Ответ: 2,25x⁴

3. Вычислите значение выражения log₃ log₂2³-1

Вычислим выражение:

$$\log_3 (\log_2 2^3 - 1) = \log_3 (3 \log_2 2 - 1) = \log_3 (3 \cdot 1 - 1) = \log_3 (3 - 1) = \log_3 2$$

Ответ: log₃2

4. Решите уравнение √x² - x - 1 = 1

Решим уравнение:

$$\sqrt{x^2 - x - 1} = 1$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 - x - 1 = 1$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

D = $$(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Проверим корни:

При x = 2: $$\sqrt{2^2 - 2 - 1} = \sqrt{4 - 2 - 1} = \sqrt{1} = 1$$ - верно

При x = -1: $$\sqrt{(-1)^2 - (-1) - 1} = \sqrt{1 + 1 - 1} = \sqrt{1} = 1$$ - верно

Ответ: -1, 2

5. Найдите область определения функции у = √3⁴ˣ⁻⁵-81

Найдем область определения функции:

$$3^{4x-5} - 81 ≥ 0$$

$$3^{4x-5} ≥ 81$$

$$3^{4x-5} ≥ 3^4$$

$$4x - 5 ≥ 4$$

$$4x ≥ 9$$

$$x ≥ \frac{9}{4}$$

$$x ≥ 2,25$$

Ответ: [2,25; +∞)

6. Вычислите значение выражения \frac{2^{8T-167}}{4⁷}

По условию невозможно вычислить данное выражение, так как не указано значение T.

7. Упростите выражение \frac{a²-b²}{a-b} - \frac{a³-b³}{a²-b²}

Упростим выражение:

$$\frac{a^2 - b^2}{a - b} - \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b} - \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)} = a + b - \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + ab + b^2)}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - ab - b^2}{a + b} = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: ab/(a+b)

8. Решите уравнение 5ˣ⁺².√5 = \frac{1}{25}

Решим уравнение:

$$5^{x+2} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{25}$$

$$5^{x+2} \cdot 5^{0.5} = 5^{-2}$$

$$5^{x+2.5} = 5^{-2}$$

$$x + 2.5 = -2$$

$$x = -2 - 2.5 = -4.5$$

Ответ: -4,5

9. Решите неравенство log₃ (x+1) > -2

Решим неравенство:

$$\log_3 (x+1) > -2$$

$$x + 1 > 3^{-2}$$

$$x + 1 > \frac{1}{9}$$

$$x > \frac{1}{9} - 1$$

$$x > - \frac{8}{9}$$

Также необходимо учитывать, что $$x+1 > 0$$, т.е. $$x > -1$$.

Таким образом, $$x > - \frac{8}{9}$$

Ответ: (-8/9; +∞)

10. Найти cos α, если sinα = 0,8 и \frac{π}{2}< α < π

$$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$

$$\cos^2 α = 1 - \sin^2 α$$

$$\cos α = ± \sqrt{1 - \sin^2 α}$$

$$\sin α = 0,8$$

$$\cos α = ± \sqrt{1 - (0,8)^2} = ± \sqrt{1 - 0,64} = ± \sqrt{0,36} = ± 0,6$$

Так как $$\frac{π}{2} < α < π$$, то α находится во второй четверти, где cos α < 0.

Следовательно, $$\cos α = -0,6$$

Ответ: -0,6

11. Решите уравнение √x + 3 =x+3

Решим уравнение:

$$\sqrt{x + 3} = x + 3$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x + 3 = (x + 3)^2$$

$$x + 3 = x^2 + 6x + 9$$

$$x^2 + 5x + 6 = 0$$

D = $$5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим корни:

При x = -2: $$\sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1; -2 + 3 = 1$$ - верно

При x = -3: $$\sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0; -3 + 3 = 0$$ - верно

Ответ: -3, -2

12. Верно ли равенство (5⁰)³. 4-27⁻¹/₃ + 3⁻⁶. 81.9⁰ + (\frac{1}{4})⁻¹/₂ = 6?

Проверим равенство:

$$(5^0)^3 \cdot 4 - 27^{-1/3} + 3^{-6} \cdot 81 \cdot 9^0 + (\frac{1}{4})^{-1/2} = 1^3 \cdot 4 - (3^3)^{-1/3} + 3^{-6} \cdot 3^4 \cdot 1 + (4^{-1})^{-1/2} = 4 - 3^{-1} + 3^{-2} + 4^{1/2} = 4 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + 2 = 6 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = 6 - \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = 6 - \frac{2}{9} = \frac{54 - 2}{9} = \frac{52}{9} \approx 5,78
eq 6$$

Ответ: Нет, неверно

13. Упростите выражение \frac{log₇ 28-\frac{1}{2}log₇ 64}{log₅ 30-3log₅ √6}

$$\frac{\log_7 28 - \frac{1}{2} \log_7 64}{\log_5 30 - 3 \log_5 \sqrt{6}} = \frac{\log_7 28 - \log_7 \sqrt{64}}{\log_5 30 - \log_5 (\sqrt{6})^3} = \frac{\log_7 28 - \log_7 8}{\log_5 30 - \log_5 (6 \sqrt{6})} = \frac{\log_7 (\frac{28}{8})}{\log_5 (\frac{30}{6\sqrt{6}})} = \frac{\log_7 (\frac{7}{2})}{\log_5 (\frac{5}{\sqrt{6}})} = \frac{\log_7 7 - \log_7 2}{\log_5 5 - \log_5 \sqrt{6}} = \frac{1 - \log_7 2}{1 - \log_5 \sqrt{6}} = \frac{1 - \log_7 2}{1 - \frac{1}{2} \log_5 6}$$

Ответ: (1-log₇2)/(1-0.5log₅6)

14. Решите неравенство log₂(2x + 5) <4

Решим неравенство:

$$\log_2 (2x + 5) < 4$$

$$2x + 5 < 2^4$$

$$2x + 5 < 16$$

$$2x < 11$$

$$x < \frac{11}{2}$$

$$x < 5.5$$

Также необходимо учитывать, что $$2x + 5 > 0$$, т.е. $$2x > -5$$ и $$x > -2.5$$.

Таким образом, $$-2.5 < x < 5.5$$

Ответ: (-2,5; 5,5)

15. Решите неравенство 0,3⁵ˣ⁻¹ - 0,3⁵ˣ ≥ 0,7

Решим неравенство:

$$0.3^{5x-1} - 0.3^{5x} ≥ 0.7$$

$$0.3^{5x} \cdot 0.3^{-1} - 0.3^{5x} ≥ 0.7$$

$$0.3^{5x} (\frac{1}{0.3} - 1) ≥ 0.7$$

$$0.3^{5x} (\frac{1}{0.3} - \frac{0.3}{0.3}) ≥ 0.7$$

$$0.3^{5x} (\frac{0.7}{0.3}) ≥ 0.7$$

$$0.3^{5x} ≥ 0.7 \cdot \frac{0.3}{0.7}$$

$$0.3^{5x} ≥ 0.3$$

$$5x ≤ 1$$

$$x ≤ \frac{1}{5}$$

$$x ≤ 0.2$$

Ответ: (-∞; 0,2]

16. Решите уравнение (4ˣ - 9. 2ˣ + 8) √x - 2 = 0

Решим уравнение:

$$(4^x - 9 \cdot 2^x + 8) \sqrt{x - 2} = 0$$

Выражение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $$\sqrt{x - 2} = 0$$

$$x - 2 = 0$$

$$x = 2$$

2) $$4^x - 9 \cdot 2^x + 8 = 0$$

$$(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 8 = 0$$

Пусть $$y = 2^x$$, тогда:

$$y^2 - 9y + 8 = 0$$

D = $$(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$$

$$y_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$y_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Обратная замена:

$$2^x = 8$$

$$2^x = 2^3$$

$$x = 3$$

$$2^x = 1$$

$$2^x = 2^0$$

$$x = 0$$

Проверим корни:

x = 2: $$(4^2 - 9 \cdot 2^2 + 8) \sqrt{2 - 2} = (16 - 36 + 8) \cdot 0 = -12 \cdot 0 = 0$$ - верно

x = 3: $$(4^3 - 9 \cdot 2^3 + 8) \sqrt{3 - 2} = (64 - 72 + 8) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$$ - верно

x = 0: $$(4^0 - 9 \cdot 2^0 + 8) \sqrt{0 - 2} = (1 - 9 + 8) \sqrt{-2} = 0 \cdot \sqrt{-2}$$ - не имеет смысла, т.к. $$\sqrt{-2}$$ не определен

Ответ: 2, 3