Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1 1. Упростите выражение (10a2 - 6a + 5) - (-11a + a³ + 6); (13xy - 11x² + 10y²) - (-15x² + 10xy - 15y²); (14ab2 - 17ab + 5a²b) + (20ab – 14a²b); 2. Докажите тождество (x³ + 2x²) - (x + 1)(x²- x) + (4 - x³) = x² + 3. 3. Решите уравнение 15- (2x2 - 4x) - (7x - 2x²) = 0; (y³ + 4y² - 6) - (5y - y³ + 6) = 2y³ + 4y² + y.
Ответ:
1. Упростите выражение
а) \[(10a^2 - 6a + 5) - (-11a + a^3 + 6)\]
Сначала раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй скобке:
\[= 10a^2 - 6a + 5 + 11a - a^3 - 6\]
Теперь приведем подобные слагаемые и запишем в стандартном виде (по убыванию степеней):
\[= -a^3 + 10a^2 + (-6a + 11a) + (5 - 6)\]
\[= -a^3 + 10a^2 + 5a - 1\]
б) \[(13xy - 11x^2 + 10y^2) - (-15x^2 + 10xy - 15y^2)\]
Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй скобке:
\[= 13xy - 11x^2 + 10y^2 + 15x^2 - 10xy + 15y^2\]
Приведем подобные слагаемые:
\[= (-11x^2 + 15x^2) + (13xy - 10xy) + (10y^2 + 15y^2)\]
\[= 4x^2 + 3xy + 25y^2\]
в) \[(14ab^2 - 17ab + 5a^2b) + (20ab - 14a^2b)\]
Раскроем скобки (здесь просто убираем, так как знак «+»):
\[= 14ab^2 - 17ab + 5a^2b + 20ab - 14a^2b\]
Приведем подобные слагаемые:
\[= 14ab^2 + (-17ab + 20ab) + (5a^2b - 14a^2b)\]
\[= 14ab^2 + 3ab - 9a^2b\]
2. Докажите тождество
\[(x^3 + 2x^2) - (x + 1)(x^2 - x) + (4 - x^3) = x^2 + 3\]
Сначала раскроем скобки:
\[(x + 1)(x^2 - x) = x^3 - x^2 + x^2 - x = x^3 - x\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[(x^3 + 2x^2) - (x^3 - x) + (4 - x^3) = x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3\]
Приведем подобные слагаемые:
\[= (x^3 - x^3 - x^3) + 2x^2 + x + 4 = -x^3 + 2x^2 + x + 4\]
Проверим правую часть, раскроем скобки:
\[x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3 = -x^3 + 2x^2 + x + 4\]
Следовательно:
\[-x^3 + 2x^2 + x + 4 = x^2 + 3\]
Упростим выражение:
\[(x^3 + 2x^2) - (x^3 - x) + (4 - x^3) = x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3 = -x^3 + 2x^2 + x + 4\]
Нужно доказать, что это равно \(x^2 + 3\). Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:
\[(x^3 + 2x^2) - (x + 1)(x^2 - x) + (4 - x^3) = x^3 + 2x^2 - (x^3 - x^2 + x^2 - x) + 4 - x^3 = x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3 = -x^3 + 2x^2 + x + 4\]
Теперь приравняем левую часть к правой и посмотрим, что получится:
\[-x^3 + 2x^2 + x + 4 = x^2 + 3\]
\[x^2 = x^2\]
Из этого следует, что нужно доказать тождество:
\[x^3 + 2x^2 - (x^3 - x) + 4 - x^3 = x^2 + 3\]
\[x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3 = x^2 + 3\]
\[-x^3 + 2x^2 + x + 4 = x^2 + 3\]
\[-x^3 + x^2 + x + 1 = 0\]
Используем метод группировки:
\[x^3 + 2x^2 - (x + 1)(x^2 - x) + (4 - x^3) = x^2 + 3\]
\[x^3 + 2x^2 - (x^3 - x) + 4 - x^3 = x^2 + 3\]
\[x^3 + 2x^2 - x^3 + x + 4 - x^3 = x^2 + 3\]
\[-x^3 + 2x^2 + x + 4 = x^2 + 3\]
\[2x^2 - x^3 - x^2 + x + 4 - 3 = 0\]
\[x^2 - x^3 + x + 1 = 0\]
Выносим \(-x^2\) из первых двух членов:
\[-x^2(x - 1) + x + 1 = 0\]
Теперь перегруппируем:
\[-x^3 + 2x^2 + x + 4 = x^2 + 3\]
\[-x^3 + x^2 + x^2 + x + 1 + 3 = x^2 + 3\]
\[-x^3 + x^2 + x^2 + x + 1 = 0\]
\[-x^2(x - 1) + (x + 1) = 0\]
Разложим \(x^2 - x^3\) и \(x + 1\) и получим:
\[-x^2(x - 1) + 1(x + 1) = 0\]
\[(x - 1) = 1\]
Это не тождество. Значит, левая и правая части не равны, и доказать тождество не получится.
3. Решите уравнение
а) \[15 - (2x^2 - 4x) - (7x - 2x^2) = 0\]
Раскроем скобки:
\[15 - 2x^2 + 4x - 7x + 2x^2 = 0\]
Приведем подобные слагаемые:
\[15 + (4x - 7x) + (-2x^2 + 2x^2) = 0\]
\[15 - 3x = 0\]
Перенесем 15 в правую часть:
\[-3x = -15\]
Разделим обе части на -3:
\[x = \frac{-15}{-3}\]
\[x = 5\]
б) \[(y^3 + 4y^2 - 6) - (5y - y^3 + 6) = 2y^3 + 4y^2 + y\]
Раскроем скобки:
\[y^3 + 4y^2 - 6 - 5y + y^3 - 6 = 2y^3 + 4y^2 + y\]
Приведем подобные слагаемые:
\[(y^3 + y^3) + 4y^2 - 5y + (-6 - 6) = 2y^3 + 4y^2 + y\]
\[2y^3 + 4y^2 - 5y - 12 = 2y^3 + 4y^2 + y\]
Перенесем все в левую часть:
\[2y^3 + 4y^2 - 5y - 12 - 2y^3 - 4y^2 - y = 0\]
Приведем подобные слагаемые:
\[(2y^3 - 2y^3) + (4y^2 - 4y^2) + (-5y - y) - 12 = 0\]
\[-6y - 12 = 0\]
Перенесем -12 в правую часть:
\[-6y = 12\]
Разделим обе части на -6:
\[y = \frac{12}{-6}\]
\[y = -2\]
Ответ: x = 5; y = -2
