Вариант 1 1. Упростите выражение. a) (x-3)(x-7)-2x (3x-5); б) 4a (a-2)-(a-4)²; 2. Разложите на множители. a) x³ - 9x; в) 2 (m + 1)² - 4m. б) -5a²-10ab-5b². 3. Упростите выражение (y² - 2y)² - y²(y + 3)(y-3) + 2y(2y² + 5). 4. Разложите на множители. a) 16x⁴-81; б) x² - x - y² - y. 5. Докажите, что выражение х² - 4х +9 при любых значени- ях х принимает положительные значения.

1. Упростите выражение.

1. а) (x-3)(x-7)-2x (3x-5)
   • Раскрываем скобки: \( x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x \)
   • Приводим подобные члены: \( -5x^2 - 0x + 21 \)
   • Упрощенное выражение: \( -5x^2 + 21 \)
2. б) 4a (a-2)-(a-4)²
   • Раскрываем скобки: \( 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) \)
   • Раскрываем скобки и меняем знаки: \( 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 \)
   • Приводим подобные члены: \( 3a^2 - 16 \)
3. в) 2 (m + 1)² - 4m
   • Раскрываем скобки: \( 2(m^2 + 2m + 1) - 4m \)
   • Раскрываем скобки: \( 2m^2 + 4m + 2 - 4m \)
   • Приводим подобные члены: \( 2m^2 + 2 \)

2. Разложите на множители.

1. а) x³ - 9x
   • Выносим общий множитель x: \( x(x^2 - 9) \)
   • Разность квадратов: \( x(x - 3)(x + 3) \)
2. б) -5a²-10ab-5b²
   • Выносим -5 за скобки: \( -5(a^2 + 2ab + b^2) \)
   • Квадрат суммы: \( -5(a + b)^2 \)

3. Упростите выражение

• \( (y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) \)
• Раскрываем скобки: \( y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y \)
• Раскрываем скобки: \( y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y \)
• Приводим подобные члены: \( 13y^2 + 10y \)

4. Разложите на множители.

1. а) 16x⁴-81
   • Разность квадратов: \( (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \)
   • Разность квадратов: \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)
2. б) x² - x - y² - y
   • Группируем члены: \( (x^2 - y^2) - (x + y) \)
   • Разность квадратов: \( (x - y)(x + y) - (x + y) \)
   • Выносим общий множитель: \( (x + y)(x - y - 1) \)

5. Докажите, что выражение х² - 4х +9 при любых значениях х принимает положительные значения.

• Выделяем полный квадрат: \( x^2 - 4x + 4 + 5 \)
• Преобразуем: \( (x - 2)^2 + 5 \)
• Квадрат любого числа неотрицателен, значит, \( (x - 2)^2 \ge 0 \) для любого x.
• Следовательно, \( (x - 2)^2 + 5 \ge 5 \) для любого x.
• Таким образом, выражение всегда положительно.