Вариант 2 1. Упростите выражения: a) (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) · \frac{5xy}{x-y}, б) (\frac{7a-3b}{2a} + \frac{2a-7b}{2b}) · \frac{4ab}{2a^2-3b^2}. 2. Выполните действия: a) (\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2}) : \frac{1}{a^2-4}, б) (\frac{y}{2+3y} - \frac{5y}{3y-2}) : \frac{4y^3+4y^2}{9y^2-12y+4}. 3. Решите уравнение: (\frac{(2x + 1)^2}{6} + \frac{(x + 1)(x + 2)}{3} = x^2.

а)

\[(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5xy}{x-y}\]

Приводим к общему знаменателю в скобках:

\[(\frac{x^2 - y^2}{xy}) \cdot \frac{5xy}{x-y}\]

Разлагаем числитель первой дроби как разность квадратов:

\[(\frac{(x - y)(x + y)}{xy}) \cdot \frac{5xy}{x-y}\]

Сокращаем \((x - y)\) и \(xy\):

\[(x + y) \cdot 5\]

Раскрываем скобки:

\[5(x + y) = 5x + 5y\]

Ответ:

\[5x + 5y\]

б)

\[(\frac{7a-3b}{2a} + \frac{2a-7b}{2b}) \cdot \frac{4ab}{4a^2-9b^2}\]

Приводим к общему знаменателю в скобках (общий знаменатель \(2ab\)):

\[(\frac{b(7a-3b) + a(2a-7b)}{2ab}) \cdot \frac{4ab}{4a^2-9b^2}\]

Раскрываем скобки:

\[(\frac{7ab - 3b^2 + 2a^2 - 7ab}{2ab}) \cdot \frac{4ab}{4a^2-9b^2}\]

Упрощаем числитель:

\[(\frac{2a^2 - 3b^2}{2ab}) \cdot \frac{4ab}{4a^2-9b^2}\]

Сокращаем \(2ab\):

\[(\frac{2a^2 - 3b^2}{1}) \cdot \frac{2}{4a^2-9b^2}\]

Представляем знаменатель как разность квадратов:

\[\frac{2(2a^2 - 3b^2)}{(2a - 3b)(2a + 3b)}\]

Сокращаем, если возможно. В данном случае сократить нечего.

Ответ:

\[\frac{4a^2 - 6b^2}{4a^2-9b^2}\]

а)

\[(\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2}) : \frac{1}{a^2-4}\]

Приводим к общему знаменателю в скобках:

\[(\frac{(a-2)^2 - (a+2)^2}{(a+2)(a-2)}) : \frac{1}{a^2-4}\]

Раскрываем квадраты:

\[(\frac{a^2 - 4a + 4 - (a^2 + 4a + 4)}{(a+2)(a-2)}) : \frac{1}{a^2-4}\]

Упрощаем числитель:

\[(\frac{-8a}{(a+2)(a-2)}) : \frac{1}{a^2-4}\]

Заменяем деление умножением:

\[(\frac{-8a}{(a+2)(a-2)}) \cdot (a^2-4)\]

Представляем \(a^2-4\) как \((a+2)(a-2)\):

\[(\frac{-8a}{(a+2)(a-2)}) \cdot (a+2)(a-2)\]

Сокращаем \((a+2)(a-2)\):

\[-8a\]

Ответ:

\[-8a\]

б)

\[(\frac{y}{2+3y} - \frac{5y}{3y-2}) : \frac{4y^3+4y^2}{9y^2-12y+4}\]

Приводим к общему знаменателю в скобках:

\[(\frac{y(3y-2) - 5y(2+3y)}{(2+3y)(3y-2)}) : \frac{4y^3+4y^2}{9y^2-12y+4}\]

Раскрываем скобки:

\[(\frac{3y^2 - 2y - 10y - 15y^2}{(2+3y)(3y-2)}) : \frac{4y^3+4y^2}{9y^2-12y+4}\]

Упрощаем числитель:

\[(\frac{-12y^2 - 12y}{(2+3y)(3y-2)}) : \frac{4y^3+4y^2}{9y^2-12y+4}\]

Заменяем деление умножением:

\[(\frac{-12y^2 - 12y}{(2+3y)(3y-2)}) \cdot \frac{9y^2-12y+4}{4y^3+4y^2}\]

Раскладываем на множители:

\[(\frac{-12y(y + 1)}{(2+3y)(3y-2)}) \cdot \frac{(3y-2)^2}{4y^2(y+1)}\]

Сокращаем:

\[(\frac{-3}{2+3y}) \cdot \frac{(3y-2)}{y}\]

Ответ:

\[\frac{-3(3y-2)}{y(2+3y)}\]