Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 8 1. Упростите выражения: a) (20+1-3-3)-(662+36), 9-y2 б) y-2 : y-2 1 (y+2)2 - 2y y-2 y2 + 3y + y3-8 y y+3 18. Прямоугольная система координат. Функции. Функция у = ka 2. Выполните действия: a) a2 5 82-32-82: (2 a²+4a +4 α³ - 202 6) 1 (2-xy X x+y 2 3. Решите уравнение: + x+y a : (a²-4), 12 + 2 + y (xy)2 xy-y2, + 5 X x+y (*2+#+8)²-242+2+8.22+3+7+ +( 5 *2+3+7)² = 0. 61
Ответ:
Краткое пояснение: В данном задании необходимо упростить выражения и решить уравнение, используя алгебраические преобразования и методы решения уравнений.
1. Упростите выражения:
а) \[ \left(\frac{1}{2b+1} - \frac{1}{3b} - \frac{1}{3}\right) \cdot (6b^2 + 3b) \]
- Шаг 1: Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \[\frac{1}{2b+1} - \frac{1}{3b} - \frac{1}{3} = \frac{3b - (2b+1) - b(2b+1)}{3b(2b+1)} = \frac{3b - 2b - 1 - 2b^2 - b}{3b(2b+1)} = \frac{-2b^2 - 1}{3b(2b+1)}\]
- Шаг 2: Упростим выражение, умножив на \[(6b^2 + 3b)\]: \[\frac{-2b^2 - 1}{3b(2b+1)} \cdot (6b^2 + 3b) = \frac{-2b^2 - 1}{3b(2b+1)} \cdot 3b(2b+1) = -2b^2 - 1\]
Ответ: \[-2b^2 - 1\]
б) \[\frac{9-y^2}{y-2} : \left(\frac{y-2}{(y+2)^2 - 2y} - \frac{1}{y-2} + \frac{y^2+3y}{y^3-8}\right) \cdot \frac{y}{y+3}\]
- Шаг 1: Упростим выражение в скобках: \[\frac{y-2}{(y+2)^2 - 2y} - \frac{1}{y-2} + \frac{y^2+3y}{y^3-8} = \frac{y-2}{y^2+4y+4 - 2y} - \frac{1}{y-2} + \frac{y^2+3y}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{y-2}{y^2+2y+4} - \frac{1}{y-2} + \frac{y^2+3y}{(y-2)(y^2+2y+4)}\]
- Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(y-2)^2 - (y^2+2y+4) + (y^2+3y)}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{y^2-4y+4 - y^2-2y-4 + y^2+3y}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{y^2-3y}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{y(y-3)}{(y-2)(y^2+2y+4)}\]
- Шаг 3: Разделим первое выражение на полученное: \[\frac{9-y^2}{y-2} : \frac{y(y-3)}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{(3-y)(3+y)}{y-2} \cdot \frac{(y-2)(y^2+2y+4)}{y(y-3)} = \frac{-(y-3)(3+y)}{y-2} \cdot \frac{(y-2)(y^2+2y+4)}{y(y-3)} = -\frac{(3+y)(y^2+2y+4)}{y}\]
- Шаг 4: Умножим на последнее выражение: \[-\frac{(3+y)(y^2+2y+4)}{y} \cdot \frac{y}{y+3} = -\frac{(3+y)(y^2+2y+4)}{y} \cdot \frac{y}{y+3} = -(y^2+2y+4)\]
Ответ: \[-(y^2+2y+4)\]
2. Выполните действия:
а) \[\frac{a^2}{a^2+4a+4} \cdot \frac{8a^2-32}{a^3-2a^2} + \frac{a^5-8a^2}{a} : (a^2-4)\]
- Шаг 1: Упростим первое выражение: \[\frac{a^2}{(a+2)^2} \cdot \frac{8(a^2-4)}{a^2(a-2)} = \frac{a^2}{(a+2)^2} \cdot \frac{8(a-2)(a+2)}{a^2(a-2)} = \frac{8}{a+2}\]
- Шаг 2: Упростим второе выражение: \[\frac{a^5-8a^2}{a} : (a^2-4) = \frac{a^2(a^3-8)}{a} : (a^2-4) = a(a^3-8) : (a^2-4) = a(a-2)(a^2+2a+4) : (a-2)(a+2) = \frac{a(a^2+2a+4)}{a+2}\]
- Шаг 3: Сложим результаты: \[\frac{8}{a+2} + \frac{a(a^2+2a+4)}{a+2} = \frac{8 + a^3 + 2a^2 + 4a}{a+2} = \frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a+2} = \frac{a^2(a+2) + 4(a+2)}{a+2} = \frac{(a^2+4)(a+2)}{a+2} = a^2 + 4\]
Ответ: \[a^2 + 4\]
б) \[\frac{1}{x} \cdot \left(\frac{y^2-xy}{x+y}\right)^2 \cdot \left(\frac{x+y}{(x-y)^2} + \frac{x+y}{xy-y^2}\right) + \frac{x}{x+y}\]
- Шаг 1: Упростим выражение в скобках: \[\frac{x+y}{(x-y)^2} + \frac{x+y}{xy-y^2} = \frac{x+y}{(x-y)^2} + \frac{x+y}{y(x-y)} = \frac{(x+y)y + (x+y)(x-y)}{y(x-y)^2} = \frac{y(x+y) + (x^2-y^2)}{y(x-y)^2} = \frac{xy+y^2 + x^2-y^2}{y(x-y)^2} = \frac{x(x+y)}{y(x-y)^2}\]
- Шаг 2: Упростим первое выражение: \[\frac{1}{x} \cdot \left(\frac{y(y-x)}{x+y}\right)^2 \cdot \frac{x(x+y)}{y(x-y)^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{y^2(y-x)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{x(x+y)}{y(x-y)^2} = \frac{y}{x+y}\]
- Шаг 3: Сложим с последним выражением: \[\frac{y}{x+y} + \frac{x}{x+y} = \frac{y+x}{x+y} = 1\]
Ответ: 1
3. Решите уравнение:
\[\left(\frac{x^2+x+8}{4}\right)^2 - 2\cdot\frac{x^2+x+8}{4} \cdot \frac{x^2+3x+7}{5} + \left(\frac{x^2+3x+7}{5}\right)^2 = 0\]- Шаг 1: Заметим, что уравнение имеет вид \[a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\]
- Шаг 2: Преобразуем уравнение: \[\left(\frac{x^2+x+8}{4} - \frac{x^2+3x+7}{5}\right)^2 = 0\]
- Шаг 3: Решим уравнение: \[\frac{x^2+x+8}{4} - \frac{x^2+3x+7}{5} = 0\] \[\frac{5(x^2+x+8) - 4(x^2+3x+7)}{20} = 0\] \[5x^2+5x+40 - 4x^2-12x-28 = 0\] \[x^2 - 7x + 12 = 0\]
- Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3\]
Ответ: x = 3, 4
