Вариант 2 (уровень 2) 1. Дано: AB = AD, BC = DC (рис. 2.162). Доказать: ∠B = ∠D. 2. Для равнобедренный ΔABC с основанием AC и высотой BD. На лучах BA и BC вне треугольника ABC отложены равные отрезки AM и CN. Луч BD пересекает отрезок MN в точке O. Доказать, что BO — высота ΔMBN. 3. В треугольниках DEC и D₁E₁C₁ DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки P и P₁, так, что ∠DCP = ∠D₁C₁P₁. Доказать, что а) ΔDCP = ΔD₁C₁P₁; б) ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

Question

Вопрос:

Вариант 2 (уровень 2) 1. Дано: AB = AD, BC = DC (рис. 2.162). Доказать: ∠B = ∠D. 2. Для равнобедренный ΔABC с основанием AC и высотой BD. На лучах BA и BC вне треугольника ABC отложены равные отрезки AM и CN. Луч BD пересекает отрезок MN в точке O. Доказать, что BO — высота ΔMBN. 3. В треугольниках DEC и D₁E₁C₁ DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки P и P₁, так, что ∠DCP = ∠D₁C₁P₁. Доказать, что а) ΔDCP = ΔD₁C₁P₁; б) ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Разбираемся с геометрической задачей. Поехали!

Задание 1

Дано: AB = AD, BC = DC. Нужно доказать, что углы B и D равны.

Краткое пояснение: Рассмотрим треугольники и докажем их равенство.

Пошаговое решение:

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
У них сторона AC — общая.
AB = AD и BC = DC по условию.
Значит, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠B = ∠D.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Задание 2

Дано: ΔABC равнобедренный, AC — основание, BD — высота. AM = CN отложены на лучах BA и BC вне треугольника. Луч BD пересекает MN в точке O. Нужно доказать, что BO — высота ΔMBN.

Краткое пояснение: Используем свойства равнобедренного треугольника и докажем, что BO перпендикулярна MN.

Пошаговое решение:

В равнобедренном ΔABC углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
Так как AM = CN и BA = BC, то BM = BN. Значит, ΔMBN тоже равнобедренный.
BD — высота ΔABC, значит, она является и медианой, и биссектрисой.
Так как ΔMBN равнобедренный, а BO — биссектриса угла B (так как лежит на BD), то BO является и высотой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Задание 3

Дано: ΔDEC и ΔD₁E₁C₁, DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁, ∠E = ∠E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки P и P₁, такие что ∠DCP = ∠D₁C₁P₁. Нужно доказать, что а) ΔDCP = ΔD₁C₁P₁; б) ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

Краткое пояснение: Используем признаки равенства треугольников.

Пошаговое решение:

а) Докажем, что ΔDCP = ΔD₁C₁P₁.

DE = D₁E₁, ∠D = ∠D₁ по условию.
Рассмотрим треугольники DEC и D₁E₁C₁. Они равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
Следовательно, DC = D₁C₁.
∠DCP = ∠D₁C₁P₁ по условию.
Таким образом, ΔDCP = ΔD₁C₁P₁ по двум сторонам и углу между ними.

б) Докажем, что ΔCPE = ΔC₁P₁E₁.

Так как ΔDEC = ΔD₁E₁C₁, то ∠C = ∠C₁.
∠DCP = ∠D₁C₁P₁ по условию.
Тогда ∠ECP = ∠E₁C₁P₁ (∠C - ∠DCP = ∠C₁ - ∠D₁C₁P₁).
DE = D₁E₁ по условию.
∠E = ∠E₁ по условию.
ΔDCP = ΔD₁C₁P₁ (доказано в пункте а), значит, DP = D₁P₁.
Тогда PE = DЕ - DP = D₁E₁ - D₁P₁ = P₁E₁.
Таким образом, ΔCPE = ΔC₁P₁E₁ по стороне и двум прилежащим углам (PE = P₁E₁, ∠E = ∠E₁, ∠ECP = ∠E₁C₁P₁).

Ответ: Что и требовалось доказать.