Вариант № 9 75 ускорение а, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,4 км, приобрести скорость 105 км/ч. Ответ дайте в (в км/ч²). 10. Моторная лодка прошла против течения реки 180 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1,5 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения рав- на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 11. На рисунке 80 изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. YA 01 X Рис. 80 12. Найдите точку максимума функции у = √5 – x2 – 2x. Часть 2 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй- те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 5π 13. а) Решите уравнение sin² (2+) - cos(x +ㅠ) = 0. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-7-2].

Решение варианта №9.

Задача 9:

Дано: $$S = 1.4 \text{ км}$$, $$v = 105 \text{ км/ч}$$. Найти: $$a$$ (в км/ч²).

Решение: Используем формулу $$v^2 = v_0^2 + 2aS$$. Предполагаем, что начальная скорость $$v_0 = 0$$. Тогда $$v^2 = 2aS$$, откуда $$a = \frac{v^2}{2S} = \frac{105^2}{2 \cdot 1.4} = \frac{11025}{2.8} = 3937.5 \text{ км/ч}^2$$.

Ответ: 3937.5 км/ч²

Задача 10:

Пусть $$v$$ - скорость лодки в неподвижной воде, $$t_1$$ - время движения против течения, $$t_2$$ - время движения по течению.

Дано: Расстояние $$S = 180 \text{ км}$$, скорость течения $$v_\text{теч} = 3 \text{ км/ч}$$, $$t_1 - t_2 = 1.5 \text{ ч}$$.

Решение:

• Время против течения: $$t_1 = \frac{S}{v - v_\text{теч}} = \frac{180}{v - 3}$$.
• Время по течению: $$t_2 = \frac{S}{v + v_\text{теч}} = \frac{180}{v + 3}$$.
• Разница во времени: $$\frac{180}{v - 3} - \frac{180}{v + 3} = 1.5$$.
• Умножаем обе части на 2: $$\frac{360}{v - 3} - \frac{360}{v + 3} = 3$$.
• Делим обе части на 3: $$\frac{120}{v - 3} - \frac{120}{v + 3} = 1$$.
• Приводим к общему знаменателю: $$\frac{120(v + 3) - 120(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 1$$.
• $$120v + 360 - 120v + 360 = v^2 - 9$$
• $$v^2 = 729$$
• $$v = \sqrt{729} = 27 \text{ км/ч}$$.

Ответ: 27 км/ч

Задача 11:

По графику определяем уравнения прямых. Первая прямая проходит через точки (0, 1) и (1, 0). Ее уравнение: $$y = -x + 1$$. Вторая прямая проходит через точки (0, -1) и (1, 0). Ее уравнение: $$y = x - 1$$. Приравниваем уравнения, чтобы найти точку пересечения: $$-x + 1 = x - 1$$, $$2x = 2$$, $$x = 1$$.

Ответ: 1

Задача 12:

Функция: $$y = \sqrt{5 - x^2 - 2x}$$. Для нахождения точки максимума найдем производную подкоренного выражения: $$f(x) = 5 - x^2 - 2x$$. $$f'(x) = -2x - 2$$. Приравняем производную к нулю: $$-2x - 2 = 0$$, $$x = -1$$. При $$x = -1$$ функция достигает максимума.

Ответ: -1

Задача 13 а):

Решить уравнение: $$\sin^2(x + \frac{5\pi}{2}) - \cos(x + \pi) = 0$$.

Преобразуем: $$\sin(x + \frac{5\pi}{2}) = \sin(x + \frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$$.

$$\cos(x + \pi) = -\cos(x)$$.

Уравнение принимает вид: $$\cos^2(x) + \cos(x) = 0$$.

$$\cos(x)(\cos(x) + 1) = 0$$.

1) $$\cos(x) = 0$$, откуда $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.

2) $$\cos(x) = -1$$, откуда $$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Задача 13 б):

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$$

1) $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

$$-\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le -2\pi$$

$$-\frac{7}{2} \le \frac{1}{2} + n \le -2$$

$$-\frac{8}{2} \le n \le -\frac{5}{2}$$

$$-4 \le n \le -2.5$$. Значит, $$n = -4, -3$$

При $$n = -4$$: $$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$$.

При $$n = -3$$: $$x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$$.

2) $$x = \pi + 2\pi k$$

$$-\frac{7\pi}{2} \le \pi + 2\pi k \le -2\pi$$

$$-\frac{7}{2} \le 1 + 2k \le -2$$

$$-\frac{9}{2} \le 2k \le -3$$

$$-\frac{9}{4} \le k \le -\frac{3}{2}$$

$$-2.25 \le k \le -1.5$$. Значит, $$k = -2$$

При $$k = -2$$: $$x = \pi - 4\pi = -3\pi$$.

Ответ: $$-\frac{7\pi}{2}$$, $$-\frac{5\pi}{2}$$, $$-3\pi$$