2 вариант 1) В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите углы а) между прямыми DB и AD1; б) между прямой АС1 и плоскостью BCD. 2) Через вершину А квадрата ABCD проведен перпендикуляр АК =1 см. Найдите расстояние от точки К до вершины С, если сторона квадрата 2см. 3) Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, разделила её на отрезки 2 и 32. Из вершины С прямого угла проведен перпендикуляр СМ к плоскости треугольника АВС, СМ=6 см. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы АВ.

Решение варианта 2

1) Работа с кубом ABCDA1B1C1D1

а) Угол между прямыми DB и AD1:

В кубе все ребра равны, и все углы между гранями прямые. Рассмотрим диагональ грани AD1. Угол между DB и AD1 - это угол между диагоналями двух смежных граней куба. Этот угол равен 45 градусов, так как диагонали квадрата делят углы пополам.

Ответ: 45°

б) Угол между прямой AC1 и плоскостью BCD:

AC1 - диагональ куба. Плоскость BCD - одна из граней куба. Угол между прямой AC1 и плоскостью BCD равен углу между AC1 и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией AC1 на плоскость BCD является прямая BC. Таким образом, нужно найти угол между AC1 и BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC1. Так как AC1 - диагональ куба, а BC - ребро, то этот угол равен 90 градусов.

Ответ: 90°

2) Расстояние от точки K до вершины C

Давай рассмотрим квадрат ABCD, где сторона равна 2 см. Из вершины A проведен перпендикуляр AK длиной 1 см. Наша задача - найти расстояние от точки K до вершины C.

Треугольник AKC является прямоугольным, так как AK перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, а значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и AC. По теореме Пифагора, KC^2 = AK^2 + AC^2. Длина AC (диагональ квадрата) равна \( 2\sqrt{2} \) см. Теперь мы можем вычислить KC: KC^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9. Следовательно, KC = \( \sqrt{9} \) = 3 см.

Ответ: 3 см

3) Расстояние от точки M до гипотенузы AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки длиной 2 и 32. Пусть CH - высота, опущенная на гипотенузу AB. Тогда AH = 2 и HB = 32. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, CH^2 = AH \cdot HB, следовательно, CH^2 = 2 \cdot 32 = 64, и CH = \( \sqrt{64} \) = 8 см.

Из вершины C проведен перпендикуляр CM к плоскости треугольника ABC, причем CM = 6 см. Нам нужно найти расстояние от точки M до гипотенузы AB. Опустим перпендикуляр MK на гипотенузу AB. Тогда CMK - прямоугольный треугольник, и MK = \( \sqrt{CM^2 + CK^2} \). Так как CK - высота CH, то CK = 8 см. Тогда MK = \( \sqrt{6^2 + 8^2} \) = \( \sqrt{36 + 64} \) = \( \sqrt{100} \) = 10 см.

Ответ: 10 см

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!