Вариант №1 1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой MN. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60° , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы. 3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 450, гипотенуза 16 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе. 4. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 1150 Найти меньший острый угол треугольника АВС. 5. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70° Найти острые углы этого треугольника.

Давай решим эти задачи по геометрии по порядку.

Задача 1

В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла M пересекает высоту NK в точке O, причем OK = 9 см. Найти расстояние от точки O до прямой MN.

К сожалению, для этой задачи недостаточно данных. Нужно знать либо угол M, либо соотношение сторон треугольника MNP, чтобы найти расстояние от точки O до прямой MN. Без этого задача не может быть решена точно.

Задача 2

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы.

Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. Тогда больший катет равен b, а угол напротив катета a равен 30°. По условию: c + a = 42.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. То есть a = c/2. Подставляем это в уравнение: c + c/2 = 42.

Решаем уравнение: 3c/2 = 42 => c = (42 * 2) / 3 = 28.

Ответ: Длина гипотенузы равна 28 см.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза равна 16 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике с углом 45° второй острый угол тоже равен 45°, то есть это равнобедренный прямоугольный треугольник. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Mедиана = 16 / 2 = 8.

Ответ: Медиана, проведенная к гипотенузе, равна 8 см.

Задача 4

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O. Величина угла AOC равна 115°. Найти меньший острый угол треугольника ABC.

Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°. Значит, угол OAC + угол OCA = 180° - 115° = 65°.

Так как AE и CD - биссектрисы, то угол BAC = 2 * угол OAC, а угол BCA = 90°, значит угол ACD = 90°/2 = 45°. Угол ACB = 2 * угол OCA => угол OCA = угол ACB / 2 = 45°. Тогда угол OAC = 65° - угол OCA = 65° - 45° = 20°.

Угол BAC = 2 * угол OAC = 2 * 20° = 40°.

В прямоугольном треугольнике ABC: угол ABC = 90° - угол BAC = 90° - 40° = 50°.

Меньший острый угол треугольника ABC - это угол BAC = 40°.

Ответ: Меньший острый угол треугольника ABC равен 40°.

Задача 5

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найти острые углы этого треугольника.

Пусть один из углов, образованных биссектрисой и гипотенузой, равен 70°. Тогда второй угол равен 180° - 70° = 110° (но он нам не понадобится).

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, гипотенузой и катетом. В этом треугольнике один из углов равен 45°, а угол между биссектрисой и гипотенузой равен 70°. Тогда угол между катетом и гипотенузой (острый угол треугольника) равен 180° - (45° + 70°) = 65°.

Второй острый угол треугольника равен 90° - 65° = 25°.

Ответ: Острые углы этого треугольника равны 65° и 25°.

Ответ: