Контрольные задания > Вариант 2 1. В правильном тетраэдре DABC, все ребра равны 10, найти угол между плоскостями (АВС) и (ВДС) 2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями (A1BD) и (C1BD) 3. На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что A₁E: EA = 2:3, на ребре ВВ1 — точка F так, что B1F : FB = 1:4, a точка Т — середина ребра В1С1. Известно, что АВ = 3, AD = 4, АА₁ = 10. Плоскость EFT проходит через вершину D1. Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью ВВ1С1.
Вопрос:

Вариант 2 1. В правильном тетраэдре DABC, все ребра равны 10, найти угол между плоскостями (АВС) и (ВДС) 2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями (A1BD) и (C1BD) 3. На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что A₁E: EA = 2:3, на ребре ВВ1 — точка F так, что B1F : FB = 1:4, a точка Т — середина ребра В1С1. Известно, что АВ = 3, AD = 4, АА₁ = 10. Плоскость EFT проходит через вершину D1. Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью ВВ1С1.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Решение задач представлено ниже.

Краткое пояснение: Решаем задачи по геометрии, используя известные формулы и теоремы.

Задача 1

В правильном тетраэдре DABC все ребра равны 10. Нужно найти угол между плоскостями (ABC) и (BDC).

  • Пусть M – середина ребра BC. Тогда AM и DM – медианы равносторонних треугольников ABC и DBC, следовательно, они являются и высотами.
  • Значит, AM = DM = (√3 / 2) * a, где a – длина ребра тетраэдра. В нашем случае a = 10, поэтому AM = DM = (√3 / 2) * 10 = 5√3.
  • Угол между плоскостями (ABC) и (BDC) – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения (BC), то есть угол AMD.
  • Рассмотрим треугольник AMD. Он равнобедренный, так как AM = DM. Найдем косинус угла AMD по теореме косинусов: \[AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\angle AMD)\] Подставим известные значения: \[10^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD)\] \[100 = 75 + 75 - 150 \cdot \cos(\angle AMD)\] \[100 = 150 - 150 \cdot \cos(\angle AMD)\] \[150 \cdot \cos(\angle AMD) = 50\] \[\cos(\angle AMD) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}\]
  • Следовательно, угол AMD = arccos(1/3).

Задача 2

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями (A1BD) и (C1BD).

  • Пусть O – центр грани ABCD, а O1 – центр грани A1B1C1D1.
  • Плоскости (A1BD) и (C1BD) пересекаются по прямой BD.
  • Опустим перпендикуляр A1K на прямую BD в плоскости (A1BD) и перпендикуляр C1L на прямую BD в плоскости (C1BD). Угол между плоскостями (A1BD) и (C1BD) – это угол между этими перпендикулярами, то есть угол A1KC1.
  • Заметим, что треугольники A1BO и C1DO1 равны, следовательно, A1K = C1L.
  • Найдем длину A1K. Так как A1BD – равносторонний треугольник со стороной √2 (диагональ квадрата со стороной 1), то A1K – высота этого треугольника. A1K = (√3 / 2) * √2 = √(3/2).
  • Рассмотрим четырехугольник A1KC1L. Углы A1KB и C1LB прямые.
  • Найдем косинус угла A1KC1. Для этого рассмотрим треугольник KA1C1. A1C1 = √2 (диагональ квадрата). По теореме косинусов: \[A1C1^2 = A1K^2 + C1K^2 - 2 \cdot A1K \cdot C1K \cdot \cos(\angle A1KC1)\] \[(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 + (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \cos(\angle A1KC1)\] \[2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle A1KC1)\] \[2 = 3 - 3 \cdot \cos(\angle A1KC1)\] \[3 \cdot \cos(\angle A1KC1) = 1\] \[\cos(\angle A1KC1) = \frac{1}{3}\]
  • Следовательно, угол A1KC1 = arccos(1/3).

Задача 3

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2:3, на ребре BB1 – точка F так, что B1F : FB = 1:4, а точка T – середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA1 = 10. Плоскость EFT проходит через вершину D1. Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

  • Определим координаты точек в прямоугольной системе координат с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD и AA1.
  • Координаты точек:
    • A(0, 0, 0)
    • B(3, 0, 0)
    • D(0, 4, 0)
    • A1(0, 0, 10)
    • B1(3, 0, 10)
    • C1(3, 4, 10)
    • D1(0, 4, 10)
  • Найдем координаты точек E, F и T:
    • E лежит на AA1, A1E : EA = 2:3. Значит, AE = (3/5) * AA1 = (3/5) * 10 = 6. Координаты точки E(0, 0, 6).
    • F лежит на BB1, B1F : FB = 1:4. Значит, BF = (4/5) * BB1 = (4/5) * 10 = 8. Координаты точки F(3, 0, 8).
    • T – середина B1C1. Координаты точки T((3+3)/2, (0+4)/2, 10) = T(3, 2, 10).
  • Так как плоскость EFT проходит через точку D1, уравнение плоскости EFT имеет вид: \[Ax + By + Cz + D = 0\] Подставим координаты точек E, F, T и D1 в это уравнение, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D.
  • Подставим координаты E(0, 0, 6): 6C + D = 0
  • Подставим координаты F(3, 0, 8): 3A + 8C + D = 0
  • Подставим координаты T(3, 2, 10): 3A + 2B + 10C + D = 0
  • Подставим координаты D1(0, 4, 10): 4B + 10C + D = 0
  • Решим систему уравнений:
    • Из первого уравнения: D = -6C
    • Подставим в остальные уравнения:
      • 3A + 8C - 6C = 0 => 3A + 2C = 0 => A = (-2/3)C
      • 3A + 2B + 10C - 6C = 0 => 3A + 2B + 4C = 0 => 2B = -4C - 3A = -4C - 3*(-2/3)C = -4C + 2C = -2C => B = -C
      • 4B + 10C - 6C = 0 => 4B + 4C = 0 => B = -C (подтверждение)
  • Уравнение плоскости EFT: (-2/3)Cx - Cy + Cz - 6C = 0. Разделим на C: (-2/3)x - y + z - 6 = 0. Умножим на 3: -2x - 3y + 3z - 18 = 0. Или: 2x + 3y - 3z + 18 = 0.
  • Нормальный вектор к плоскости EFT: n1 = (2, 3, -3).
  • Нормальный вектор к плоскости BB1C1: n2 = (1, 0, 0) (так как плоскость параллельна плоскости A1ADD1).
  • Угол между плоскостями EFT и BB1C1 найдем через косинус угла между их нормальными векторами: \[\cos(\varphi) = \frac{|n1 \cdot n2|}{|n1| \cdot |n2|} = \frac{|(2, 3, -3) \cdot (1, 0, 0)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{4 + 9 + 9} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{22}}\] \[\cos(\varphi) = \frac{2}{\sqrt{22}} = \frac{2\sqrt{22}}{22} = \frac{\sqrt{22}}{11}\]
  • Следовательно, угол φ = arccos(√22 / 11).

Ответ: Задача 1: arccos(1/3); Задача 2: arccos(1/3); Задача 3: arccos(√22 / 11)

Математический гений: Achievement unlocked: Домашка закрыта

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю