Вариант 1 1. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боко- вая сторона относится к основанию как 5 : 2. Найдите стороны треугольника. 2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точ- ки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное четверти данного отрезка. 3. В треугольнике АВС АВ = ВС. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сторонах АВ И ВС - точки Р и К соответствен- но (точки Р, М и К не лежат на одной прямой). Известно, что ZBMP = ∠BMK. Докажите, что: а) углы ВРМ и ВКМ равны; 6) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30′? Вариант 2 1. В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см осно- вание относится к боковой стороне как 2: 3. Найдите стороны треугольника. 2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное трем четвер- тям данного отрезка. 3. На высоте равнобедренного ДАВС, проведенной к осно- ванию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС - точки МиК соответственно (точки М, Р и К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК. Докажите, что: а) углы ВМР и ВКР равны; б) углы КМР и РКМ равны. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′?

Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5 : 2. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона треугольника равна 5x, а основание равно 2x. Так как треугольник равнобедренный, то две боковые стороны равны.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть $$P = 5x + 5x + 2x = 12x$$.

По условию, периметр равен 48 см, поэтому $$12x = 48$$.

Решим уравнение относительно x: $$x = \frac{48}{12} = 4$$.

Теперь найдем длины сторон треугольника:

• Боковая сторона: $$5x = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см}$$.
• Основание: $$2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$.

Ответ: Боковые стороны равны 20 см, основание равно 8 см.

2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное четверти данного отрезка.

Чтобы построить все точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное четверти данного отрезка, необходимо:

• Отложить от вершины угла на каждой стороне угла отрезки, равные четверти данного отрезка.
• Провести окружность с центром в вершине угла и радиусом, равным четверти данного отрезка.

Точки пересечения окружности со сторонами угла и дуга окружности, заключенная между сторонами угла, будут искомыми точками.

3. В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC - точки P и K соответственно (точки P, M и K не лежат на одной прямой). Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Докажите, что:

а) углы BPM и BKM равны;

б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

а) Рассмотрим треугольники BMP и BMK. Из условия AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. BE - медиана, проведенная к основанию, поэтому BE является также биссектрисой и высотой. Таким образом, ∠ABE = ∠CBE. По условию, ∠BMP = ∠BMK. Так как AB = BC, то BP = BK.

В треугольниках BMP и BMK: BM - общая сторона, BP = BK, ∠BMP = ∠BMK.

Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BPM = ∠BKM.

б) Так как треугольники BMP и BMK равны, то MP = MK. Значит, треугольник PMK равнобедренный с основанием PK. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой. Поскольку BM - медиана треугольника PMK (так как MP = MK), то BM является высотой, то есть BM ⊥ PK. Следовательно, прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30′?

Чтобы построить угол в 67°30′, можно воспользоваться следующим методом:

• Построить прямой угол (90°).
• Разделить его пополам (получится угол 45°).
• Прибавить к углу 45° угол 22°30′ (половина угла 45°). Чтобы получить угол 22°30′, можно разделить угол 45° пополам.

Вариант 2

1. В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2: 3. Найдите стороны треугольника.

Пусть основание треугольника равно 2x, а боковая сторона равна 3x. Так как треугольник равнобедренный, то две боковые стороны равны.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть $$P = 2x + 3x + 3x = 8x$$.

По условию, периметр равен 56 см, поэтому $$8x = 56$$.

Решим уравнение относительно x: $$x = \frac{56}{8} = 7$$.

Теперь найдем длины сторон треугольника:

• Основание: $$2x = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}$$.
• Боковая сторона: $$3x = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}$$.

Ответ: Основание равно 14 см, боковые стороны равны 21 см.

2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное трем четвертям данного отрезка.

Чтобы построить все точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное трем четвертям данного отрезка, необходимо:

• Отложить от вершины угла на каждой стороне угла отрезки, равные трем четвертям данного отрезка.
• Провести окружность с центром в вершине угла и радиусом, равным трем четвертям данного отрезка.

Точки пересечения окружности со сторонами угла и дуга окружности, заключенная между сторонами угла, будут искомыми точками.

3. На высоте равнобедренного ДАВС, проведенной к основанию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС - точки МиК соответственно (точки М, Р и К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК. Докажите, что:

а) углы ВМР и ВКР равны;

б) углы КМР и РКМ равны.

а) Рассмотрим треугольники BMP и BKP. По условию, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, а BP - высота, проведенная к основанию. Следовательно, BP является также медианой и биссектрисой. Значит, ∠MBP = ∠KBP. По условию BM = BK.

В треугольниках BMP и BKP: BP - общая сторона, BM = BK, ∠MBP = ∠KBP.

Следовательно, треугольники BMP и BKP равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BMP = ∠BKP.

б) Так как треугольники BMP и BKP равны, то MP = KP. Значит, треугольник MPK равнобедренный с основанием MK. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть ∠KMP = ∠PKM. Поскольку BM = BK и треугольник ABC равнобедренный, то AM = CK. Треугольники AMP и CKP равны по двум сторонам (AM = CK, MP = KP) и углу между ними (∠AMP = ∠CKP, так как ∠BMP = ∠BKP и смежные с ними углы равны).

Следовательно, ∠KMP = ∠PKM.

4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′?

Чтобы построить угол в 11°15′, можно воспользоваться следующим методом:

• Построить угол 45°.
• Разделить его пополам (получится угол 22°30′).
• Разделить угол 22°30′ пополам (получится угол 11°15′).