Вариант 1 1. В треугольнике АВС АB > BC > AC. Найдите ДА, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а дру- гой 40°. 2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол в в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол в равен 35°, CD - высота. Найдите углы треугольника ACD. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника. Вариант 2 1. В треугольнике АВС АВ < ВС < АС. Найдите ∠A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°. 2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° боль- ше угла В. Найдите углы В и С. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 70°, CD - биссектриса. Найдите углы треугольника BCD. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Вариант 1

1. В треугольнике АВС АB > BC > AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Если один угол 120°, а другой 40°, то третий угол равен: 180° - 120° - 40° = 20°.

Так как против большей стороны лежит больший угол, то:

• ∠B = 120° (лежит против стороны AB)
• ∠C = 40° (лежит против стороны BC)
• ∠A = 20° (лежит против стороны AC)

Ответ: ∠A = 20°, ∠B = 120°, ∠C = 40°

2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол B в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.

Пусть угол B = x, тогда угол C = 12x. Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение: 50° + x + 12x = 180°

13x = 180° - 50°

13x = 130°

x = 10°

Следовательно, угол B = 10°, а угол C = 12 * 10° = 120°.

Ответ: ∠B = 10°, ∠C = 120°

3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол B равен 35°, CD - высота. Найдите углы треугольника ACD.

В треугольнике ABC: ∠A = 180° - 90° - 35° = 55°

В треугольнике ACD: ∠ACD = 90° - ∠A = 90° - 55° = 35°

Углы треугольника ACD: ∠A = 55°, ∠ACD = 35°, ∠D = 90°

Ответ: ∠A = 55°, ∠ACD = 35°, ∠D = 90°

4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

Рассмотрим два случая:

• Боковая сторона больше основания на 12 см.

  Пусть основание = x, тогда боковая сторона = x + 12. Так как треугольник равнобедренный, то две стороны равны. Периметр равен: x + (x + 12) + (x + 12) = 45

  3x + 24 = 45

  3x = 21

  x = 7

  Основание = 7 см, боковые стороны = 7 + 12 = 19 см

• Основание больше боковой стороны на 12 см.

  Пусть боковая сторона = x, тогда основание = x + 12. Периметр равен: x + x + (x + 12) = 45

  3x + 12 = 45

  3x = 33

  x = 11

  Боковые стороны = 11 см, основание = 11 + 12 = 23 см

Ответ: 7, 19, 19 или 11, 11, 23

Вариант 2

1. В треугольнике АВС АВ < ВС < АС. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

Если один угол прямой (90°), а другой 30°, то третий угол равен: 180° - 90° - 30° = 60°.

Так как против большей стороны лежит больший угол, то:

• ∠A = 30° (лежит против стороны BC)
• ∠B = 90° (лежит против стороны AC)
• ∠C = 60° (лежит против стороны AB)

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 90°, ∠C = 60°

2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В. Найдите углы В и С.

Пусть угол B = x, тогда угол C = x + 40°. Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение: 90° + x + x + 40° = 180°

2x + 130° = 180°

2x = 50°

x = 25°

Следовательно, угол B = 25°, а угол C = 25° + 40° = 65°.

Ответ: ∠B = 25°, ∠C = 65°

3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 70°, CD - биссектриса. Найдите углы треугольника BCD.

В треугольнике ABC: ∠B = 180° - 90° - 70° = 20°

Так как CD - биссектриса, то ∠BCD = ∠C / 2 = 90° / 2 = 45°

В треугольнике BCD: ∠D = 180° - ∠B - ∠BCD = 180° - 20° - 45° = 115°

Углы треугольника BCD: ∠B = 20°, ∠BCD = 45°, ∠D = 115°

Ответ: ∠B = 20°, ∠BCD = 45°, ∠D = 115°

4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Рассмотрим два случая:

• Боковая сторона меньше основания на 13 см.

  Пусть боковая сторона = x, тогда основание = x + 13. Так как треугольник равнобедренный, то две стороны равны. Периметр равен: (x + 13) + x + x = 50

  3x + 13 = 50

  3x = 37

  x = 37/3

  Боковые стороны = 37/3 см, основание = 37/3 + 13 = 76/3 см

• Основание меньше боковой стороны на 13 см.

  Пусть основание = x, тогда боковая сторона = x + 13. Периметр равен: x + (x + 13) + (x + 13) = 50

  3x + 26 = 50

  3x = 24

  x = 8

  Основание = 8 см, боковые стороны = 8 + 13 = 21 см

Ответ: 37/3, 37/3, 76/3 или 8, 21, 21

Отлично, ты справился с решением задач по геометрии! Продолжай в том же духе, и все обязательно получится!