Вариант 2 1. В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 4 см, а его площадь равна 5/3 см³. Найдите третью сторону треугольника, если из- вестно, что угол вострый. - 2. В треугольнике КМЕ ZK =α, ZM=B, MЕД. Найдите стороны треугольника и его площадь - 3. В параллелограмме MNKP MN-8 CM. MP = 7√3 см. ZM-30°. Найдите диагонали параллелограмма 4. Четырехугольник MNKP задан координатами своих вершин M(5;-3), N(1; 2), (4, 4), P(6; 1). Найдите синус угла между его диагоналDEME

Решение:

1. В треугольнике ABC известны две стороны: AB = 5 см, BC = 4 см, и площадь S = $$5\sqrt{3}$$ см². Угол B острый. Необходимо найти третью сторону AC.

Площадь треугольника можно выразить формулой: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(B)$$.

Подставим известные значения и найдем синус угла B:

$$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(B)$$ $$5\sqrt{3} = 10 \cdot \sin(B)$$ $$\sin(B) = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Угол B, синус которого равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, может быть равен 60° или 120°. Так как по условию угол B острый, то B = 60°.

Теперь найдем сторону AC по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$$ $$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$$ $$AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}$$ $$AC^2 = 41 - 20 = 21$$

$$AC = \sqrt{21}$$ см.

Ответ: $$\sqrt{21}$$ см

2. В треугольнике KME известны углы ∠K = α, ∠M = β и сторона ME = b. Необходимо найти стороны треугольника и его площадь.

Третий угол ∠E = 180° - α - β.

По теореме синусов: $$\frac{ME}{\sin(K)} = \frac{KE}{\sin(M)} = \frac{KM}{\sin(E)}$$

$$\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{KE}{\sin(\beta)} = \frac{KM}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}$$

Отсюда:

$$KE = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$$ $$KM = \frac{b \cdot \sin(180^\circ - \alpha - \beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}$$

Площадь треугольника KME:

$$S = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot ME \cdot \sin(E) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot b \cdot \sin(180^\circ - \alpha - \beta)$$ $$S = \frac{b^2 \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$$

Ответ: $$KE = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}, KM = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}, S = \frac{b^2 \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$$

3. В параллелограмме MNKP известны стороны MN = 8 см, MP = $$7\sqrt{3}$$ см и угол ∠M = 30°. Необходимо найти диагонали параллелограмма.

По теореме косинусов, диагональ NK можно найти из треугольника MNK:

$$NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos(M)$$ $$NK^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$$ $$NK^2 = 64 + 147 - 112\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 211 - 112 \cdot \frac{3}{2} = 211 - 168 = 43$$

$$NK = \sqrt{43}$$ см.

Диагональ MP можно найти из треугольника MPN:

$$MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos(180^\circ - M)$$ $$MP^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$$ $$MP^2 = 64 + 147 - 112\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 211 + 112 \cdot \frac{3}{2} = 211 + 168 = 379$$

$$MP = \sqrt{379}$$ см.

Ответ: $$\sqrt{43}$$ см, $$\sqrt{379}$$ см.

4. Четырехугольник MNKP задан координатами своих вершин: M(5;-3), N(1; 2), K(4; 4), P(6; 1). Необходимо найти синус угла между его диагоналями.

Найдем координаты векторов диагоналей:

$$\vec{MK} = (4-5; 4-(-3)) = (-1; 7)$$ $$\vec{NP} = (6-1; 1-2) = (5; -1)$$

Косинус угла между векторами находится по формуле:

$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{NP}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{NP}|} = \frac{(-1) \cdot 5 + 7 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \frac{-5 - 7}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{25 + 1}} = \frac{-12}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-12}{\sqrt{1300}} = \frac{-12}{10\sqrt{13}} = -\frac{6}{5\sqrt{13}}$$

$$\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1$$ $$\sin(\varphi) = \sqrt{1 - \cos^2(\varphi)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{6}{5\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{25 \cdot 13}} = \sqrt{1 - \frac{36}{325}} = \sqrt{\frac{325 - 36}{325}} = \sqrt{\frac{289}{325}} = \frac{17}{5\sqrt{13}}$$

Ответ: $$\frac{17}{5\sqrt{13}}$$.