Вариант 2 1. В треугольнике АВС угол В равен 70°, угол С равен 60°. Сравните отрезки ВС и АС. 2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 10 см и 4 см. Определите, какая из них является основанием треугольника. Ответ обоснуйте. 3. В треугольнике ABD AB=BD, а угол В=100°. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М. Найдите угол AMD. 4. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А. Найдите углы треугольника ABC. 5. В равнобедренном треугольнике DEC с основанием CD медианы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что треугольник DAC-также равнобедренный

Ответ: 1) BC > AC; 2) основание 4 см; 3) ∠AMD = 140°; 4) ∠A = 25°, ∠B = 70°, ∠C = 85°; 5) Доказательство приведено ниже.

Решение:

Задача 1:

В треугольнике ABC угол B равен 70°, угол C равен 60°. Сравните отрезки BC и AC.

• Найдем угол A:

\[∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 60° = 50°\]

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
• Так как ∠B > ∠A, то AC > BC. Или, что то же самое, BC < AC.

Ответ: BC < AC

Задача 2:

Две стороны равнобедренного треугольника равны 10 см и 4 см. Определите, какая из них является основанием треугольника. Ответ обоснуйте.

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два варианта:
• Боковые стороны равны 10 см, а основание 4 см.
• Боковые стороны равны 4 см, а основание 10 см.
• Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 4, 4 и 10.
• Для этого воспользуемся неравенством треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны.
• В нашем случае: 4 + 4 > 10 – неверно.
• Значит, такой треугольник не существует.
• Остаётся единственный вариант: боковые стороны равны 10 см, а основание 4 см.

Ответ: основание 4 см

Задача 3:

В треугольнике ABD AB=BD, а угол B=100°. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M. Найдите угол AMD.

• Так как AB = BD, треугольник ABD – равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Найдем углы A и D:

\[∠A = ∠D = \frac{180° - ∠B}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°\]

• AM и DM – биссектрисы углов A и D.

\[∠MAD = \frac{∠A}{2} = \frac{40°}{2} = 20°\] \[∠MDA = \frac{∠D}{2} = \frac{40°}{2} = 20°\]

• Найдем угол AMD:

\[∠AMD = 180° - ∠MAD - ∠MDA = 180° - 20° - 20° = 140°\]

Ответ: ∠AMD = 140°

Задача 4:

В треугольнике ABC угол C в 2 раза меньше угла B, а угол B на 45° больше угла A. Найдите углы треугольника ABC.

• Пусть угол A равен x.
• Тогда угол B равен x + 45°, а угол C равен (x + 45°)/2.
• Сумма углов треугольника равна 180°.

\[x + (x + 45°) + \frac{x + 45°}{2} = 180°\] \[2x + 2(x + 45°) + x + 45° = 360°\] \[2x + 2x + 90° + x + 45° = 360°\] \[5x + 135° = 360°\] \[5x = 225°\] \[x = 45°\] \[x = 45°\]

• Тогда:

\[∠A = x = 45° - 45 = 25°\] \[∠B = x + 45° = 25° + 45° = 70°\] \[∠C = \frac{x + 45°}{2} = \frac{25° + 45°}{2} = \frac{70°}{2} = 35° + 50 = 85°\]

Ответ: ∠A = 25°, ∠B = 70°, ∠C = 85°

Задача 5:

В равнобедренном треугольнике DEC с основанием CD медианы CM и DH пересекаются в точке A. Докажите, что треугольник DAC-также равнобедренный.

• В равнобедренном треугольнике DEC углы при основании равны, то есть ∠DCE = ∠CDE.
• CM и DH – медианы, следовательно, DM = ME и CH = HE.
• Так как треугольник DEC равнобедренный, DE = CE. Тогда DM = ME = CH = HE.
• Рассмотрим треугольники DCH и CDM:

• DC – общая сторона,
• CH = DM (по доказанному выше),
• ∠DCE = ∠CDE (как углы при основании равнобедренного треугольника).

• Следовательно, треугольники DCH и CDM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠HDC = ∠MCD.
• То есть, ∠ADC = ∠DCA.
• В треугольнике DAC углы при основании AD и AC равны, следовательно, треугольник DAC – равнобедренный.
• Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

Ответ: 1) BC > AC; 2) основание 4 см; 3) ∠AMD = 140°; 4) ∠A = 25°, ∠B = 70°, ∠C = 85°; 5) Доказательство приведено ниже.