Вариант 2 1. В треугольнике CDE ∠C = 30°, ∠D = 45°, CE = 5√2. Найдите DE. 2. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). 4.*В ромбе АBCD АК - биссектриса угла СAB, ∠BAD = 60°, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

1. Рассмотрим треугольник CDE. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол ∠E = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 30° - 45° = 105°.

Применим теорему синусов:

$$ \frac{DE}{\sin{C}} = \frac{CE}{\sin{D}} $$ $$ DE = \frac{CE \cdot \sin{C}}{\sin{D}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin{30°}}{\sin{45°}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 $$

2. Пусть стороны треугольника a = 5 см, b = 7 см, угол между ними γ = 60°. Третью сторону c найдем по теореме косинусов:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} $$ $$ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos{60°} = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 $$ $$ c = \sqrt{39} $$

3. Даны координаты вершин треугольника A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Найдем длины сторон треугольника:

$$ AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ $$ BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ $$ AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50 $$ $$ AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 $$

Так как $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$, то треугольник ABC является прямоугольным. Так как все стороны имеют разную длину, то треугольник разносторонний.

4. В ромбе ABCD AK - биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°, BK = 12 см. Так как ∠BAD = 60°, то треугольник ABD является равносторонним, то есть AB = AD = BD.

Так как AK - биссектриса угла CAB, то ∠CAK = ∠BAK = 30°. Пусть сторона ромба равна x, тогда AB = x.

Рассмотрим треугольник ABK. По теореме косинусов:

$$ AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos{∠ABK} $$

Так как ∠BAD = 60°, а ∠BAK = 30°, то ∠DAK = 30°. Следовательно, AK - биссектриса угла A, значит, ∠BAK = ∠DAK = 30°. Но, треугольник ABD - равносторонний, значит, ∠ABD = 60°. Значит, ∠ABK = 60° + ∠CBK. Следовательно, ∠CBK = 90°. По теореме Пифагора:

$$AK^2 + BK^2 = AB^2$$ $$AK^2 = AB^2 - BK^2 $$ $$CK = x - 12$$

Так как AK - биссектриса, то \(\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}\)

Получаем

$$ \frac{x}{AC} = \frac{12}{x-12} $$

Также, \(AC = x\sqrt{3}\)

Значит

$$\frac{x}{x\sqrt{3}} = \frac{12}{x-12}$$

Решаем полученное уравнение

$$x = 12(1 + \sqrt{3}) $$

$$S = a^2sin(\alpha)$$ $$S = 144(4 + 2*\sqrt{3})*\sqrt{3}/2$$

$$S=144*(2*\sqrt{3} + 3)$$

Ответ: 1. DE = 5; 2. $$c = \sqrt{39}$$; 3. Прямоугольный разносторонний; 4. $$144*(2*\sqrt{3} + 3)$$