Вариант 1 1. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол CMD острый. Докажите, что DE > DM. 2. Найдите углы треугольника АВС, если угол А на 60° меньше угла В и в два раза меньше угла С. 3. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) биссектрисы СД и АЕ пересекаются в точке O. LAOC = 105°. Найдите острые углы треугольника АВС. 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°. Вариант 2 1. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне ММ, причем угол №КР острый. Докажите, что КР < MP. 2. Найдите углы треугольника АВС, если угол В на 40° больше угла А, а угол С в пять раз больше угла А. 3. В прямоугольном треугольнике АВС (ДС = 90°) биссектрисы CD и ВЕ пересекаются в точке О. ∠BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника АВС. 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60°,

Вариант 1

1. Доказательство неравенства DE > DM

Для доказательства необходимо использовать свойства треугольников и неравенства. В треугольнике CDM угол CMD острый, следовательно, угол CME тупой (так как они смежные). Рассмотрим треугольники CDM и DEM. Нужно доказать, что DE > DM, используя соотношения между углами и сторонами в треугольниках.

2. Нахождение углов треугольника ABC

Пусть угол A = x. Тогда угол B = x + 60°, а угол C = 2x. Сумма углов в треугольнике равна 180°: x + (x + 60°) + 2x = 180°. Решив это уравнение, найдем значения углов.

3. Нахождение острых углов треугольника ABC

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O, ∠AOC = 105°. Используя свойства биссектрис и углов треугольника, можно найти острые углы A и B.

4*. Нахождение разности внешних углов

Один из внешних углов в два раза больше другого. Пусть один внешний угол равен 2y, другой y. Внутренний угол, не смежный с ними, равен 45°. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Используя это свойство, можно найти значения внешних углов и их разность.

Вариант 2

1. Доказательство неравенства KP < MP

В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, угол NKP острый. Аналогично первому варианту, используем свойства треугольников и неравенства для доказательства KP < MP.

2. Нахождение углов треугольника ABC

Пусть угол A = x. Тогда угол B = x + 40°, а угол C = 5x. Сумма углов в треугольнике равна 180°: x + (x + 40°) + 5x = 180°. Решив это уравнение, найдем значения углов.

3. Нахождение острых углов треугольника ABC

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Биссектрисы CD и BE пересекаются в точке O, ∠BOC = 95°. Используя свойства биссектрис и углов треугольника, можно найти острые углы A и B.

4*. Нахождение разности внешних углов

Один из внешних углов в два раза больше другого. Пусть один внешний угол равен 2z, другой z. Внутренний угол, не смежный с ними, равен 60°. Используем свойство внешнего угла для нахождения значений внешних углов и их разности.

Решение задач

Вариант 1

2. Нахождение углов треугольника ABC

1. Пусть \( \angle A = x \), тогда \( \angle B = x + 60^{\circ} \) и \( \angle C = 2x \).
2. Сумма углов треугольника: \( x + (x + 60^{\circ}) + 2x = 180^{\circ} \).
3. Решаем уравнение: \( 4x + 60^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( 4x = 120^{\circ} \) => \( x = 30^{\circ} \).
4. Тогда \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} \), \( \angle C = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \)

3. Нахождение острых углов треугольника ABC

1. \( \angle C = 90^{\circ} \)
2. \( \angle AOC = 105^{\circ} \)
3. Сумма углов в треугольнике \( \triangle AOC \): \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \)
4. По условию \( CD \) и \( AE \) - биссектрисы, значит: \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle A \) и \( \angle OCA = \frac{1}{2} \angle C = 45^{\circ} \)
5. Тогда: \( \frac{1}{2} \angle A + 45^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( \frac{1}{2} \angle A = 30^{\circ} \) => \( \angle A = 60^{\circ} \)
6. \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} \)

Ответ: \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \)

Вариант 2

2. Нахождение углов треугольника ABC

1. Пусть \( \angle A = x \), тогда \( \angle B = x + 40^{\circ} \) и \( \angle C = 5x \).
2. Сумма углов треугольника: \( x + (x + 40^{\circ}) + 5x = 180^{\circ} \).
3. Решаем уравнение: \( 7x + 40^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( 7x = 140^{\circ} \) => \( x = 20^{\circ} \).
4. Тогда \( \angle A = 20^{\circ} \), \( \angle B = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ} \), \( \angle C = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 20^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( \angle C = 100^{\circ} \)

3. Нахождение острых углов треугольника ABC

1. \( \angle C = 90^{\circ} \)
2. \( \angle BOC = 95^{\circ} \)
3. Сумма углов в треугольнике \( \triangle BOC \): \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \)
4. По условию \( CD \) и \( BE \) - биссектрисы, значит: \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle B \) и \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle C = 45^{\circ} \)
5. Тогда: \( \frac{1}{2} \angle B + 45^{\circ} + 95^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( \frac{1}{2} \angle B = 40^{\circ} \) => \( \angle B = 80^{\circ} \)
6. \( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 90^{\circ} = 10^{\circ} \)

Ответ: \( \angle A = 10^{\circ} \), \( \angle B = 80^{\circ} \)