Вариант 1 1. В треугольнике MNK ZK = 37°, ∠M = 69°, NP – биссек- триса треугольника. Докажите, что МР < РК. 2. В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а вне- шний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найдите внутренние углы треугольника АВС. 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол в равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найдите углы треугольника ABD. 4*. Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине пятиугольника ABCDE (рис. 4.85). Вариант 2 1. В треугольнике CDE ZE = 76°, ∠D = 66°, ЕК – биссектриса треугольника. Докажите, что КС > DK. 2. В треугольнике АВС угол А меньше угла В на 80°, а вне- шний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В в два раза. Найдите внутренние углы треугольника АВС. A B C E Рис. 4.85 A D B C F E Рис. 4.86 D 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол в равен 70°. На луче СВ отложен отрезок CD, равный СА. Найдите углы тре- угольника АBD. 4*. Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине шестиугольника ABCDEF (рис. 4.86).

Вариант 1

1. В треугольнике MNK ∠K = 37°, ∠M = 69°, NP – биссектриса треугольника. Докажите, что MP < PK.

   Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠N = 180° - 37° - 69° = 74°.

   Так как NP - биссектриса, то ∠MNP = ∠KNP = 74° / 2 = 37°.

   Рассмотрим треугольник MNP: ∠M = 69°, ∠MNP = 37°, следовательно, ∠MPN = 180° - 69° - 37° = 74°.

   В треугольнике KNP: ∠K = 37°, ∠KNP = 37°, следовательно, ∠KPN = 180° - 37° - 37° = 106°.

   В треугольнике MNP против большего угла лежит большая сторона, значит, MP < MN.

   В треугольнике KNP против большего угла лежит большая сторона, значит, KN < KP.

   Так как ∠MNP = ∠K, треугольник MNP подобен треугольнику KNP по двум углам, следовательно, MP < PK.

2. В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найдите внутренние углы треугольника АВС.

   Обозначим ∠A = x, тогда ∠B = 3x.

   Внешний угол при вершине А равен 180° - x, а внешний угол при вершине В равен 180° - 3x.

   По условию, 180° - x = 180° - 3x + 40°.

   Решаем уравнение: 2x = 40°, x = 20°.

   Следовательно, ∠A = 20°, ∠B = 3 * 20° = 60°.

   ∠C = 180° - 20° - 60° = 100°.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол B равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найдите углы треугольника ABD.

   ∠A = 180° - 90° - 70° = 20°.

   Так как CD = CB, треугольник CBD равнобедренный, следовательно, ∠CDB = ∠CBD = (180° - 90°) / 2 = 45°.

   ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 45° = 25°.

   ∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 20° - 25° = 135°.

4. 4*. Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине пятиугольника ABCDE (рис. 4.85).

   Сумма внутренних углов пятиугольника равна (5 - 2) * 180° = 540°.

   Сумма внешних углов пятиугольника равна 360°.

Вариант 2

1. В треугольнике CDE ZE = 76°, ∠D = 66°, ЕК – биссектриса треугольника. Докажите, что КС > DK.

   Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠C = 180° - 76° - 66° = 38°.

   Так как ЕК - биссектриса, то ∠DEK = ∠CEK = 76° / 2 = 38°.

   В треугольнике DEK: ∠D = 66°, ∠DEK = 38°, следовательно, ∠DKE = 180° - 66° - 38° = 76°.

   В треугольнике CEK: ∠C = 38°, ∠CEK = 38°, следовательно, ∠CKE = 180° - 38° - 38° = 104°.

   В треугольнике DEK против большего угла лежит большая сторона, значит, DK < DE.

   В треугольнике CEK против большего угла лежит большая сторона, значит, CE < CK.

   Так как ∠DEK = ∠C, треугольник DEK подобен треугольнику CEK по двум углам, следовательно, КС > DK.

2. В треугольнике АВС угол А меньше угла В на 80°, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В в два раза. Найдите внутренние углы треугольника АВС.

   Обозначим ∠A = x, тогда ∠B = x + 80°.

   Внешний угол при вершине А равен 180° - x, а внешний угол при вершине В равен 180° - (x + 80°).

   По условию, 180° - x = 2 * (180° - (x + 80°)).

   Решаем уравнение: 180° - x = 2 * (100° - x), 180° - x = 200° - 2x, x = 20°.

   Следовательно, ∠A = 20°, ∠B = 20° + 80° = 100°.

   ∠C = 180° - 20° - 100° = 60°.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол B равен 70°. На луче СВ отложен отрезок CD, равный СА. Найдите углы треугольника АBD.

   ∠A = 180° - 90° - 70° = 20°.

   Так как CA = CD, треугольник CAD равнобедренный, следовательно, ∠CAD = ∠CDA = (180° - 90°) / 2 = 45°.

   ∠ADB = 180° - ∠A - ∠CAD = 180° - 20° - 45° = 115°.

   ∠ABD = 180° - ∠A - ∠ADB = 180° - 20° - 115° = 45°.

4. 4*. Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине шестиугольника ABCDEF (рис. 4.86).

   Сумма внутренних углов шестиугольника равна (6 - 2) * 180° = 720°.

   Сумма внешних углов шестиугольника равна 360°.