Вариант 2 1. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы число 1) 325*2 делилось на 4 2) 4231* делилось на 6 3) 76*251 делилось на 11 2. Запишите число в виде произведения степеней 669 240 простых чисел 3. Какие из следующих высказываний истинны? Для ложных утверждений приведите контрпример. 1) Если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36. 2) Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то и их произведение не делится на 11. 3) Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящееся на 3 4. Остаток от деления числа а на 11 равен 3. Найдите остаток от деления на 11 числа 8а - а².

Ответ: Вариант 2

1. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы число

1. 325*2 делилось на 4

   Число делится на 4, если две последние цифры образуют число, делящееся на 4. Значит, *2 должно делиться на 4.

   Подходят цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Например, 12 делится на 4.

   Подходят цифры: 1, 3, 5, 7, 9

2. 4231* делилось на 6

   Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Значит, число должно быть четным и сумма цифр должна делиться на 3.

   Сумма цифр: 4+2+3+1 = 10. Чтобы сумма делилась на 3, нужно добавить 2, 5 или 8. Но число должно быть четным, поэтому подходит только 2 и 8.

   Подходят цифры: 2, 8

3. 76*251 делилось на 11

   Признак делимости на 11: разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11 или быть равна 0.

   (7 + * + 5 + 1) - (6 + 2) = * + 13 - 8 = * + 5. Чтобы это число делилось на 11 или было равно 0, нужно, чтобы * + 5 = 0 или * + 5 = 11.

   Подходит цифра: 6

2. Запишите число в виде произведения степеней простых чисел

669 240

Разложим число на простые множители:

669240 | 2
  334620 | 2
  167310 | 2
  83655 | 3
  27885 | 3
  9295 | 5
  1859 | 11
  169 | 13
  13 | 13
  1 |

\[669240 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13^2\]

3. Какие из следующих высказываний истинны?

1. Если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36.

   Это утверждение ложно. Пример: 4 * 9 = 36. Ни 4, ни 9 не делятся на 36, но их произведение делится на 36.

2. Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то и их произведение не делится на 11.

   Это утверждение ложно. Пример: 1 * 1 = 1. Ни 1, ни 1 не делятся на 11, но их произведение делится на 11.

3. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящееся на 3.

   Это утверждение истинно. 12 = 4 * 3. Значит, среди множителей должно быть число, делящееся на 3, и четное число (4).

4. Остаток от деления числа а на 11 равен 3. Найдите остаток от деления на 11 числа 8а - а²

a = 11k + 3, где k - целое число.

\[8a - a^2 = a(8 - a) = (11k + 3)(8 - (11k + 3)) = (11k + 3)(5 - 11k) = 55k - 121k^2 + 15 - 33k = -121k^2 + 22k + 15\]

Остаток от деления на 11: -121k² + 22k + 15 = 11(-11k² + 2k + 1) + 4

Значит, остаток равен 4.

Ответ: Вариант 2