Вариант 6. 1. Второй признак равенства прямоугольных треугольников. Написать, доказать. 2. Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. Доказать. 3. Углы с соответственно параллельными сторонами. Доказать 4. Что такое диаметр окружности. 5. Начертить отрезок 9 см. Через середину отрезка провести окружность диаметром 5 см. Отметить на окружности хорды АВ и CD, диаметр FS, радиусы OG и OW. От хорды АВ отложить угол 140°

1. Второй признак равенства прямоугольных треугольников гласит:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠C = ∠C₁ = 90°, катет AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.

Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁ и отложим его на треугольник ABC так, чтобы вершина A₁ совпала с вершиной A, а сторона A₁C₁ наложилась на луч AC. Так как A₁C₁ = AC, то вершина C₁ совпадет с вершиной C.

По условию ∠A = ∠A₁, следовательно, сторона A₁B₁ наложится на луч AB. Так как ∠C = ∠C₁ = 90°, то сторона B₁C₁ наложится на луч BC. Таким образом, вершина B₁ является точкой пересечения сторон A₁B₁ и B₁C₁, и поэтому она совпадает с вершиной B.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают, а значит, они равны.

2. Если две прямые пересечены секущей, и сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть даны две прямые a и b, пересеченные секущей c, и сумма односторонних углов равна 180°. Докажем, что a || b.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке. Тогда образуется треугольник, у которого сумма углов должна быть равна 180°. Но по условию сумма односторонних углов при пересечении прямых a и b секущей c равна 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Значит, наше предположение неверно, и прямые a и b параллельны.

3. Углы с соответственно параллельными сторонами:

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма равна 180°.

Доказательство:

Пусть даны два угла ∠A и ∠B, у которых стороны соответственно параллельны.

Если стороны углов сонаправлены (то есть, параллельны и направлены в одну сторону), то углы равны. Если стороны углов противоположно направлены, то сумма углов равна 180°.

Рассмотрим случай, когда стороны углов сонаправлены. Пусть ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Тогда, так как стороны углов соответственно параллельны, то углы ∠A и ∠B₁ являются соответственными при параллельных прямых, а значит, они равны.

Рассмотрим случай, когда стороны углов противоположно направлены. Пусть ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₂. Тогда, так как стороны углов соответственно параллельны, то углы ∠A и ∠B₂ являются внутренними односторонними при параллельных прямых, а значит, их сумма равна 180°.

4. Диаметр окружности — это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на окружности. Диаметр также является наибольшей хордой окружности. Длина диаметра равна двум радиусам окружности: $$d=2r$$

5. Построение:

      C
      |\
      | \    O
  ----|---\---
 A----|----B-----
  ----|---/---
      | /
      |/
      D

1) Строим отрезок АВ длиной 9 см.

2) Находим середину отрезка АВ - точка О.

3) Строим окружность с центром в точке О и диаметром 5 см (радиусом 2,5 см).

4) Отмечаем на окружности точки C и D так, чтобы CD была хордой.

5) Проводим диаметр FS через точку О.

6) Отмечаем точки G и W на окружности и проводим радиусы OG и OW.

7) От хорды АВ откладываем угол 140°.

Ответ: смотри решение