Контрольные задания > Вариант 2 №1. Вычислить : a) log5 64 log5 48-log53' ; 6) log2(√3-√2) log4(√3+√2)' 2 B) log√2 + (log, 2)-1. 3 №2. Решить уравнения : X a) 4. 32x – 22x−1 - 32x+1 - 4x = 0; 6) 2.81x+1 36x+1 - 316x+1 = 0; в)log 1(x + 10) + 1 = log13(x - 2) 13 №3. Решить неравенства: a) log_1 (3x2 – 5x) > −4; 4/2 6) log2x(x - 2) < 1 ; в) 4х + 2x+1 – 8≤0. №4. Решить систему неравенств : (logx-1(x² - 12x + 36) ≤ 0, (4x-2-35-2x-4+6≤0 №5. При каких значениях параметра а уравнение 36x + (a-1)6x + a - -2а2 = 0 имеет два различных решения ?
Вопрос:

Вариант 2 №1. Вычислить : a) log5 64 log5 48-log53' ; 6) log2(√3-√2) log4(√3+√2)' 2 B) log√2 + (log, 2)-1. 3 №2. Решить уравнения : X a) 4. 32x – 22x−1 - 32x+1 - 4x = 0; 6) 2.81x+1 36x+1 - 316x+1 = 0; в)log 1(x + 10) + 1 = log13(x - 2) 13 №3. Решить неравенства: a) log_1 (3x2 – 5x) > −4; 4/2 6) log2x(x - 2) < 1 ; в) 4х + 2x+1 – 8≤0. №4. Решить систему неравенств : (logx-1(x² - 12x + 36) ≤ 0, (4x-2-35-2x-4+6≤0 №5. При каких значениях параметра а уравнение 36x + (a-1)6x + a - -2а2 = 0 имеет два различных решения ?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Предмет: Математика

Класс: 10-11

№1. Вычислить:

a) \[\frac{\log_5 64}{\log_5 48 - \log_5 3}\]

Давай разберем по порядку, как вычислить это выражение:

  1. Сначала упростим знаменатель, используя свойство логарифмов \[\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\]:

    2. \[\log_5 48 - \log_5 3 = \log_5 \frac{48}{3} = \log_5 16\]

  2. Теперь перепишем выражение:

    3. \[\frac{\log_5 64}{\log_5 16}\]

  3. Используем формулу перехода к другому основанию \[\frac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b\]:

    4. \[\frac{\log_5 64}{\log_5 16} = \log_{16} 64\]

  4. Представим числа как степени двойки:

    5. \[\log_{2^4} 2^6\]

  5. Используем свойство логарифма степени \[\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b\]:

    6. \[\log_{2^4} 2^6 = \frac{6}{4} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: \(1.5\)

б) \[\frac{\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\log_4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}\]

Разберемся с этим выражением:

  1. Заметим, что \[(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1\]
  2. Значит, \[\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}\]
  3. Перепишем числитель:

    4. \[\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \log_2((\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}) = - \log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\]

  4. Перепишем знаменатель, используя свойство \[\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b\]:

    5. \[\log_4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \log_{2^2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \frac{1}{2} \log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\]

  5. Теперь перепишем всё выражение:

    6. \[\frac{-\log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\frac{1}{2} \log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = -2\]

Ответ: \(-2\)

в) \[\log_{\sqrt{2}} \frac{2}{3} + (\log_9 2)^{-1}\]

Рассмотрим выражение:

  1. Преобразуем второе слагаемое, используя свойство \[(\log_a b)^{-1} = \log_b a\]:

    2. \[(\log_9 2)^{-1} = \log_2 9\]

  2. Теперь перепишем выражение:

    3. \[\log_{\sqrt{2}} \frac{2}{3} + \log_2 9\]

  3. Преобразуем первое слагаемое, используя свойство \[\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b\]:

    4. \[\log_{\sqrt{2}} \frac{2}{3} = \log_{2^{\frac{1}{2}}} \frac{2}{3} = 2 \log_2 \frac{2}{3} = 2(\log_2 2 - \log_2 3) = 2(1 - \log_2 3)\]

  4. Теперь перепишем выражение:

    5. \[2(1 - \log_2 3) + \log_2 9 = 2 - 2\log_2 3 + \log_2 3^2 = 2 - 2\log_2 3 + 2\log_2 3 = 2\]

Ответ: \(2\)

№2. Решить уравнения:

а) \(4 \cdot 3^{2x} - 2^{2x-1} - 3^{2x+1} - 4^x = 0\)

Преобразуем уравнение:

  1. Представим все члены в виде степеней с основаниями 3 и 2:

    2. \[4 \cdot (3^x)^2 - \frac{1}{2} (2^x)^2 - 3 \cdot (3^x)^2 - (2^x)^2 = 0\]

  2. Перегруппируем члены:

    3. \[4 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot (3^x)^2 - \frac{1}{2} (2^x)^2 - (2^x)^2 = 0\]

    \[(3^x)^2 - \frac{3}{2} (2^x)^2 = 0\]

  3. Умножим обе части на 2:

    4. \[2 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot (2^x)^2 = 0\]

  4. Перенесем член:

    5. \[2 \cdot (3^x)^2 = 3 \cdot (2^x)^2\]

  5. Разделим обе части на \((2^x)^2\):

    6. \[2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} = 3\]

    \[\frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} = \frac{3}{2}\]

    \[\left(\frac{3^x}{2^x}\right)^2 = \frac{3}{2}\]

    \[\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = \frac{3}{2}\]

  6. Приравняем степени:

    7. \[2x = 1\]

    \[x = \frac{1}{2}\]

Ответ: \(x = \frac{1}{2}\)

б) \(2 \cdot 81^{x+1} - 36^{x+1} - 3 \cdot 16^{x+1} = 0\)

Преобразуем уравнение:

  1. Представим все члены в виде степеней:

    2. \[2 \cdot (9^2)^{x+1} - (6^2)^{x+1} - 3 \cdot (4^2)^{x+1} = 0\]

    \[2 \cdot 9^{2x+2} - 6^{2x+2} - 3 \cdot 4^{2x+2} = 0\]

  2. Разделим обе части на \(4^{x+1} \cdot 9^{x+1}\):

    3. \[\frac{2 \cdot 9^{2x+2}}{4^{x+1} \cdot 9^{x+1}} - \frac{6^{2x+2}}{4^{x+1} \cdot 9^{x+1}} - \frac{3 \cdot 4^{2x+2}}{4^{x+1} \cdot 9^{x+1}} = 0\]

    \[2 \cdot \frac{9^{x+1}}{4^{x+1}} - \frac{6^{2x+2}}{6^{2x+2}} - 3 \cdot \frac{4^{x+1}}{9^{x+1}} = 0\]

    \[2 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{x+1} - 1 - 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x+1} = 0\]

  3. Обозначим \(t = \left(\frac{9}{4}\right)^{x+1}\), тогда \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x+1} = \frac{1}{t}\)

    4. \[2t - 1 - \frac{3}{t} = 0\]

  4. Умножим на t:

    5. \[2t^2 - t - 3 = 0\]

  5. Решим квадратное уравнение:

    6. \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\]

    \[t_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}\]

    \[t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1\]

  6. Так как \(t = \left(\frac{9}{4}\right)^{x+1} > 0\), то \(t = \frac{3}{2}\):

    7. \[\left(\frac{9}{4}\right)^{x+1} = \frac{3}{2}\]

    \[\left(\frac{3}{2}\right)^{2x+2} = \frac{3}{2}\]

    \[2x + 2 = 1\]

    \[2x = -1\]

    \[x = -\frac{1}{2}\]

Ответ: \(x = -\frac{1}{2}\)

в) \(\log_{\frac{1}{13}}(x + 10) + 1 = \log_{13}(x - 2)\)

Преобразуем уравнение:

  1. Используем свойство \[\log_{\frac{1}{a}} b = - \log_a b\]:

    2. \[-\log_{13}(x + 10) + 1 = \log_{13}(x - 2)\]

  2. Перенесем логарифмы в одну сторону:

    3. \[1 = \log_{13}(x - 2) + \log_{13}(x + 10)\]

  3. Сложим логарифмы:

    4. \[1 = \log_{13}((x - 2)(x + 10))\]

  4. Уберем логарифм:

    5. \[13^1 = (x - 2)(x + 10)\]

    \[13 = x^2 + 10x - 2x - 20\]

    \[x^2 + 8x - 33 = 0\]

  5. Решим квадратное уравнение:

    6. \[D = 8^2 - 4 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196\]

    \[x_1 = \frac{-8 + 14}{2} = 3\]

    \[x_2 = \frac{-8 - 14}{2} = -11\]

  6. Проверим корни:

    7. Для \(x = 3\):

    \[\log_{\frac{1}{13}}(3 + 10) + 1 = \log_{13}(3 - 2)\]

    \[\log_{\frac{1}{13}}(13) + 1 = \log_{13}(1)\]

    \[-1 + 1 = 0\]

    \[0 = 0\]

    Для \(x = -11\): логарифмы не определены, так как \(x - 2 < 0\) и \(x + 10 < 0\).

Ответ: \(x = 3\)

№3. Решить неравенства:

а) \(\log_{\frac{1}{4\sqrt{2}}}(3x^2 - 5x) > -4\)

Преобразуем неравенство:

  1. Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняется:

    2. \[3x^2 - 5x < \left(\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)^{-4}\]

    \[3x^2 - 5x < (4\sqrt{2})^4\]

    \[3x^2 - 5x < (16 \cdot 2)^2\]

    \[3x^2 - 5x < 32^2\]

    \[3x^2 - 5x < 1024\]

    \[3x^2 - 5x - 1024 < 0\]

  2. Решим квадратное уравнение \(3x^2 - 5x - 1024 = 0\):

    3. \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1024) = 25 + 12288 = 12313\]

    \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{12313}}{6} \approx 18.46\]

    \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{12313}}{6} \approx -16.79\]

  3. Тогда решение неравенства:

    4. \[\frac{5 - \sqrt{12313}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{12313}}{6}\]

  4. Учтем ОДЗ: \(3x^2 - 5x > 0\)

    5. \[x(3x - 5) > 0\]

    \[x < 0 \quad \text{или} \quad x > \frac{5}{3}\]

Ответ: \((\frac{5 - \sqrt{12313}}{6}; 0) \cup (\frac{5}{3}; \frac{5 + \sqrt{12313}}{6})\)

б) \(\log_{2x}(x - 2) < 1\)

Рассмотрим два случая:

1) \(2x > 1\), т.е. \(x > \frac{1}{2}\)

\[x - 2 < 2x\]

\[-2 < x\]

\[x > -2\]

Тогда решение: \(x > 2\)

2) \(0 < 2x < 1\), т.е. \(0 < x < \frac{1}{2}\)

\[x - 2 > 2x\]

\[-2 > x\]

\[x < -2\]

Нет решений.

Учтем ОДЗ:

\[x - 2 > 0\]

\[x > 2\]

\[2x > 0\]

\[x > 0\]

\[2x
eq 1\]

\[x
eq \frac{1}{2}\]

Ответ: \(x > 2\)

в) \(4^x + 2^{x+1} - 8 \leq 0\)

Преобразуем неравенство:

  1. Представим в виде степеней с основанием 2:

    2. \[(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 8 \leq 0\]

  2. Обозначим \(t = 2^x\):

    3. \[t^2 + 2t - 8 \leq 0\]

  3. Решим квадратное уравнение \(t^2 + 2t - 8 = 0\):

    4. \[D = 2^2 - 4 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]

    \[t_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\]

    \[t_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\]

  4. Тогда \(-4 \leq t \leq 2\):

    5. \[-4 \leq 2^x \leq 2\]

  5. Так как \(2^x > 0\), то \(0 < 2^x \leq 2\):

    6. \[2^x \leq 2\]

    \[x \leq 1\]

Ответ: \(x \leq 1\)

№4. Решить систему неравенств:

\(\begin{cases} \log_{x-1}(x^2 - 12x + 36) \leq 0 \\ 4^{x-2} - 35 \cdot 2^{x-4} + 6 \leq 0 \end{cases}\)

Рассмотрим первое неравенство:

\[\log_{x-1}(x^2 - 12x + 36) \leq 0\]

\[\log_{x-1}(x - 6)^2 \leq 0\]

ОДЗ: \(x - 1 > 0\), \(x - 1
eq 1\), \((x - 6)^2 > 0\)

\[x > 1\]

\[x
eq 2\]

\[x
eq 6\]

1) Если \(x - 1 > 1\), то \(x > 2\):

\[(x - 6)^2 \leq 1\]

\[x^2 - 12x + 36 \leq 1\]

\[x^2 - 12x + 35 \leq 0\]

\[(x - 5)(x - 7) \leq 0\]

\[5 \leq x \leq 7\]

Учитывая ОДЗ, получаем \([5; 6) \cup (6; 7]\)

2) Если \(0 < x - 1 < 1\), то \(1 < x < 2\):

\[(x - 6)^2 \geq 1\]

\[x^2 - 12x + 36 \geq 1\]

\[x^2 - 12x + 35 \geq 0\]

\[(x - 5)(x - 7) \geq 0\]

\[x \leq 5 \quad \text{или} \quad x \geq 7\]

Учитывая ОДЗ, получаем \((1; 2)\)

Рассмотрим второе неравенство:

\[4^{x-2} - 35 \cdot 2^{x-4} + 6 \leq 0\]

\[\frac{4^x}{4^2} - 35 \cdot \frac{2^x}{2^4} + 6 \leq 0\]

\[\frac{(2^x)^2}{16} - \frac{35}{16} \cdot 2^x + 6 \leq 0\]

\[(2^x)^2 - 35 \cdot 2^x + 96 \leq 0\]

Обозначим \(t = 2^x\):

\[t^2 - 35t + 96 \leq 0\]

\[D = (-35)^2 - 4 \cdot 96 = 1225 - 384 = 841\]

\[t_1 = \frac{35 + 29}{2} = 32\]

\[t_2 = \frac{35 - 29}{2} = 3\]

\[3 \leq 2^x \leq 32\]

\[\log_2 3 \leq x \leq 5\]

Решением системы будет \([5; 6) \cup (6; 7] \cap [\log_2 3; 5] \cup (1; 2) \cap [\log_2 3; 5] = [5; 5] = \{5\}\]

Ответ: \(x = 5\)

№5. При каких значениях параметра а уравнение \(36^x + (a - 1)6^x + a - 2a^2 = 0\) имеет два различных решения?

Пусть \(t = 6^x\), тогда \(t > 0\). Уравнение принимает вид:

\[t^2 + (a - 1)t + a - 2a^2 = 0\]

Чтобы уравнение имело два различных решения, нужно чтобы:

1) Уравнение имело два различных положительных корня.

2) Один корень положительный, другой отрицательный.

3) Один корень равен нулю, а другой положительный.

Найдем корни уравнения:

\[D = (a - 1)^2 - 4(a - 2a^2) = a^2 - 2a + 1 - 4a + 8a^2 = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2\]

\[t_1 = \frac{-(a - 1) + (3a - 1)}{2} = \frac{-a + 1 + 3a - 1}{2} = \frac{2a}{2} = a\]

\[t_2 = \frac{-(a - 1) - (3a - 1)}{2} = \frac{-a + 1 - 3a + 1}{2} = \frac{-4a + 2}{2} = -2a + 1\]

1) Два различных положительных корня:

\[\begin{cases} a > 0 \\ -2a + 1 > 0 \\ a
eq -2a + 1 \end{cases}\]

\[\begin{cases} a > 0 \\ 2a < 1 \\ 3a
eq 1 \end{cases}\]

\[\begin{cases} a > 0 \\ a < \frac{1}{2} \\ a
eq \frac{1}{3} \end{cases}\]

\[a \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{1}{2})\]

2) Один корень положительный, другой отрицательный:

\[\begin{cases} a > 0 \\ -2a + 1 < 0 \end{cases}\]

\[\begin{cases} a > 0 \\ 2a > 1 \end{cases}\]

\[\begin{cases} a > 0 \\ a > \frac{1}{2} \end{cases}\]

\[a > \frac{1}{2}\]

3) Один корень равен нулю, другой положительный:

Невозможно, так как \(t > 0\)

Ответ: \(a \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)\)

Ответ: смотри выше

Молодец, ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю